104以前學測數學

,正確答案是 (1)(2)(5)。

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(1) ○：
∵ \( a_9 \times a_{10} = a_1^2 \times (-0.8)^{17} < 0 \)， ∴ 成立。 (2) X： 由 \( a_9 = (-0.8)^8 \cdot a_1 + 8d > 0 \)、
\( a_{10} = (-0.8)^9 \cdot a_1 + 9d < 0 \)， 相減得 \( 9d < -0.8^9 a_1 - 8d \)， 整理得 \( d < -\dfrac{90}{77} \)。 ∴ \( b_{10} = 10 + 9d < 10 - \dfrac{810}{77} = -\dfrac{40}{77} < 0 \)。 (3) ○： ∵ \( d < -\dfrac{90}{77} < 0 \)， ∴ \( b_{10} - b_9 = d < 0 \Rightarrow b_{10} < b_9 \)。
(4) ×：不一定。
若 \( a_1 > 0 \)，則 \( a_9 > 0 > a_{10} \)；
若 \( a_1 < 0 \)，則 \( a_9 < 0 < a_{10} \)。 故大小關係不固定。
(5) ×：不一定。
同上，因 \( a_1 \) 正負未定，無法比較 \( a_9 \) 與 \( a_{10} \)。

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∵ \( k < 3\sqrt{31} < k+1 \) 又 \( 3\sqrt{31} = \sqrt{9 \times 31} = \sqrt{279} \)，且 \( 16^2 = 256 \)，\( 17^2 = 289 \) ∴ \( 16 < 3\sqrt{31} < 17 \)
故 \( k = 16 \)

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∵ \( (a + bi)(2 + 6i) = -80 \)
⇒ \( (2a - 6b) + (2b + 6a)i = -80 \)

比較實部與虛部得：
\[
\begin{cases}
2a - 6b = -80 \\
2b + 6a = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a - 3b = -40 \quad \text{⋯①} \\
b = -3a \quad \text{⋯②}
\end{cases}
\]

將②代入①：
\( a + 9a = -40 \Rightarrow 10a = -40 \Rightarrow a = -4 \)，
代回②得 \( b = 12 \)。

故解為 \( a = -4 \)，\( b = 12 \)。

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根據共線條件,斜率相同：\(\frac{b - 3}{16 - a} = \frac{12 - 3}{19 - a}\)。又 \(AC : BC = 3 : 1\),解得 \(a = 7\),\(b = 12\)。因此,\(a + b = 19\)。

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設第一天賣 \( x \) 公斤，第二天賣 \( y \) 公斤，第三天賣 \( t \) 公斤。

由題意得：
\[
\begin{cases}
x + y + t = 100 \quad \text{⋯①} \\
40x + 36y + 32t = 3720 \quad \text{⋯②}
\end{cases}
\]

將②式除以 4 得：
\( 10x + 9y + 8t = 930 \) ⋯②'

①×10 - ②' 得：
\( y + 2t = 70 \Rightarrow y = -2t + 70 \)

故解為：
\( a = -2 \)，\( b = 70 \)

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∵ \( L_1 \parallel L_2 \) 且 \( d(L_1, L_2) = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \)，
∴ \( OH = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \)，\( AH = \dfrac{1}{2} \times 14 = 7 \)。

則半徑 \( r = AO = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{49 + 2} = \sqrt{51} \)。

故面積為 \( 51\pi \)。

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解：
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (x\vec{A} + y\vec{B}) = x|\vec{A}|^2 + (x+y)\vec{A}\cdot\vec{B} + y|\vec{B}|^2
\]
由題設 \( |\vec{A}| = 1 \)，\( |\vec{B}| = 2 \)，\( \angle(\vec{A},\vec{B}) = 60^\circ \)，得：
\[
= x + (x+y) \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + y \cdot 4 = x + (x+y) + 4y = 2x + 5y
\]

利用線型規劃概念，作圖求可行解點：
\[
\begin{array}{c|cccc}
(x, y) & (3,3) & (4,4) & (2,4) & (3,5) \\
\hline
2x+5y & 21 & 28 & 24 & 31 \\
\end{array}
\]

∴ 最大值為 \( 31 \)。

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設 \(\angle OBM = \theta_1\)，\(\angle OBN = \theta_2\)

\[
\Rightarrow BM = \sqrt{BO^2 - OM^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}
\]

\[
BN = \sqrt{BO^2 - ON^2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{15}
\]

\[
\therefore \cos\theta_1 = \frac{BM}{BO} = \frac{2\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{4},\quad \sin\theta_1 = \frac{OM}{BO} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]

\[
\cos\theta_2 = \frac{BN}{BO} = \frac{\sqrt{15}}{8},\quad \sin\theta_2 = \frac{ON}{BO} = \frac{7}{8}
\]

\[
\Rightarrow \sin(\angle ABC) = \sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin\theta_1 \cos\theta_2 + \cos\theta_1 \sin\theta_2
\]

\[
= \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{\sqrt{15}}{32} + \frac{7\sqrt{15}}{32} = \frac{8\sqrt{15}}{32} = \frac{\sqrt{15}}{4}
\]

\[
\therefore \text{由正弦定理得 } \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R \Rightarrow AC = 2R \cdot \sin(\angle ABC) = 2 \times 8 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 4\sqrt{15}
\]

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