學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求,才有資格參選模範生。
一、國文成績或英文成績 70 分(含)以上；
二、數學成績及格。
已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的？
(1) 小文的英文成績未達 70 分
(2) 小文的數學成績不及格
(3) 小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格
(4) 小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格
(5) 小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格
答案
104以前學測數學
102學測數學考科-02
令 \(a = 2.6^{10} – 2.6^9\),\(b = 2.6^{11} – 2.6^{10}\),\(c = \frac{2.6^{11} – 2.6^9}{2}\)。請選出正確的大小關係。
(1) \(a \gt b \gt c\)
(2) \(a \gt c \gt b\)
(3) \(b \gt a \gt c\)
(4) \(b \gt c \gt a\)
(5) \(c \gt b \gt a\)
答案
102學測數學考科-03
袋子裡有 3 顆白球,2 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 1 顆球,抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等,請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下,丙抽到白球之條件機率為何？
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{5}{12}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{3}{5}\)
(5) \(\frac{2}{3}\)
答案
甲和乙抽到相同顏色球的情況有兩種：
1. 甲和乙都抽到白球：機率為 \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\)。
2. 甲和乙都抽到黑球：機率為 \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}\)。
總機率為 \(\frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\)。
在甲和乙抽到相同顏色球的條件下,丙抽到白球的機率為 \(\frac{6}{20} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{20} \times \frac{3}{3} = \frac{6}{60} + \frac{6}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\)。因此,正確答案是 (3) \(\frac{1}{2}\)。
102學測數學考科-04
已知以下各選項資料的迴歸直線(最適合直線)皆相同且皆為負相關,請選出相關係數最小的選項。
答案
\[
\begin{aligned}
r_{xy} &= \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^2}} \\
&= \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}\sqrt{\sum y_i^2 - n\bar{y}^2}} \\
\\
\text{觀察條件：} &\quad
\begin{cases}
①\ x_i \text{ 各項均相同} \\
②\ \bar{y} \text{ 相同} \\
③\ \sum x_i y_i \text{ 相同}
\end{cases} \\
\\
\Rightarrow &\ \text{比較 } r_{xy} \text{ 的大小，由 } \sum y_i^2 \text{ 決定} \\
\\
\sum y_i^2 \text{ 計算：} &\quad
\begin{aligned}
&(1)\ 1^2+13^2+1^2 = 171 \\
&(2)\ 3^2+10^2+2^2 = 113 \\
&(3)\ 5^2+7^2+3^2 = 83 \\
&(4)\ 9^2+1^2+5^2 = 107 \\
&(5)\ 7^2+4^2+4^2 = 81
\end{aligned} \\
\\
\text{關係：} &\quad \sum y_i^2 \uparrow \ \Rightarrow\ |r_{xy}| \downarrow, \quad \text{且 } r_{xy} < 0 \ \Rightarrow\ r_{xy} \uparrow \\
\\
\therefore &\ r_{xy} \text{ 最小者為 } (5) \ (\sum y_i^2 \text{ 最小})
\end{aligned}
\]
102學測數學考科-05
將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋,且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。
(1) 55
(2) 66
(3) 132
(4) 198
(5) 253
答案
102學測數學考科-06
莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午 10:00 熱氣球的仰角為 30°,到上午 10:10 仰角變成 34°。請利用下表判斷到上午 10:30 時,熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？
(1) 39°
(2) 40°
(3) 41°
(4) 42°
(5) 43°
答案
\[
\begin{aligned}
& \text{設莎龍位置為 } O，\text{時間與對應熱氣球位置：} \\
& 10:00 \rightarrow A,\quad 10:10 \rightarrow B,\quad 10:30 \rightarrow C \\
\\
& \text{已知：} \angle COB=\theta,\angle AOH = 30^\circ,\ \angle BOA = 4^\circ \\
& \text{設 } AH = y \Rightarrow OH = \sqrt{3}y \\
& \text{設 } AB = x,\ BC = 2x \ (10:00 \text{ 到 } 10:30 \text{ 時距為 } 30 \text{ 分}) \\
\\
& \tan(\angle BOH) = \tan 34^\circ = \frac{y + x}{\sqrt{3}y} \approx 0.675 \\
& \Rightarrow y + x = \sqrt{3} \times 0.675y \approx 1.732 \times 0.675y = 1.1691y \\
& \Rightarrow x = 0.1691y \\
\\
& \tan(\theta + 34^\circ) = \frac{y + 3x}{\sqrt{3}y} \\
& = \frac{y + 3 \times 0.1691y}{\sqrt{3}y} \\
& = \frac{1.5073y}{1.732y} \approx 0.870 \approx \tan 41^\circ \\
& \Rightarrow \angle COH=\theta + 34^\circ \approx 41^\circ \\
\end{aligned}
\]
102學測數學考科-07
設 \(n\) 為正整數,符號 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\) 代表矩陣 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 自乘 \(n\) 次。令 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\),請選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 1\)
(2) \(a_1, a_2, a_3\) 為等比數列
(3) \(d_1, d_2, d_3\) 為等比數列
(4) \(b_1, b_2, b_3\) 為等差數列
(5) \(c_1, c_2, c_3\) 為等差數列
答案
\[
\begin{aligned}
&\text{已知 } A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \\
&A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \\
&A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \\
&A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 15 \\ 0 & 16 \end{bmatrix} \\
\\
&\text{歸納得：} A^n = \begin{bmatrix} 1 & 1+2+\cdots+2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2^n-1 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} \\
&\text{設 } A^n = \begin{bmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{bmatrix} \\
&\Rightarrow a_n = 1,\ b_n = 2^n-1,\ c_n = 0,\ d_n = 2^n \\
\\
&(1)\ a_2 = 1 \quad (\bigcirc) \\
&(2)\ a_1,a_2,a_3 = 1,1,1 \Rightarrow \text{公比 }=1 \quad (\bigcirc) \\
&(3)\ d_1,d_2,d_3 = 2,4,8 \Rightarrow \text{公比 }=2 \quad (\bigcirc) \\
&(4)\ b_1,b_2,b_3 = 1,3,7 \Rightarrow \text{非等差數列} \quad (X) \\
&(5)\ c_1,c_2,c_3 = 0,0,0 \Rightarrow \text{公差 }=0 \quad (\bigcirc)
\end{aligned}
\]
102學測數學考科-08
8. 設 \( a > 1 > b > 0 \)，關於下列不等式，請選出正確的選項。
(1) \( (-a)^7 > (-a)^9 \)
(2) \( b^{-9} > b^{-7} \)
(3) \( \log_{10} \frac{1}{a} > \log_{10} \frac{1}{b} \)
(4) \( \log_a 1 > \log_b 1 \)
(5) \( \log_a b \geq \log_b a \)
答案
(1) 正確：
因 \( a > 1 \)，故 \( a^7 < a^9 \)，
兩邊同乘 \(-1\) 得 \( -a^7 > -a^9 \)，
即 \( (-a)^7 > (-a)^9 \)。
(2) 正確：
因 \( 0 < b < 1 \)，所以 \( \frac{1}{b} > 1 \)，
而 \( b^{-9} = \left(\frac{1}{b}\right)^9 \)，\( b^{-7} = \left(\frac{1}{b}\right)^7 \)，
故 \( b^{-9} > b^{-7} \)。
(3) 錯誤：
由 \( a > 1 > b > 0 \) 得 \( \frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b} \)，
所以 \( \log_{10} \frac{1}{a} < \log_{10} \frac{1}{b} \)。
(4) 錯誤：
因為 \( \log_a 1 = 0 = \log_b 1 \)，兩者相等。
(5) 錯誤：
取 \( a = 2 \)，\( b = \frac{1}{8} \)，
則 \( \log_a b = \log_2 \frac{1}{8} = -3 \)，
\( \log_b a = \log_{1/8} 2 = -\frac{1}{3} \)，
此時 \( \log_a b < \log_b a \)，故不恆成立。
因此，正確選項為 **(1)(2)**。
102學測數學考科-09
設 \(a < b < c\)。已知實係數多項式函數 \(y = f(x)\) 的圖形為一開口向上的拋物線,且與 \(x\) 軸交於 \((a, 0)\)、\((b, 0)\) 兩點；實係數多項式函數 \(y = g(x)\) 的圖形亦為一開口向上的拋物線,且跟 \(x\) 軸相交於 \((b, 0)\)、\((c, 0)\) 兩點。請選出 \(y = f(x) + g(x)\) 的圖形可能的選項。
(1) 水平直線
(2) 和 \(x\) 軸僅交於一點的直線
(3) 和 \(x\) 軸無交點的拋物線
(4) 和 \(x\) 軸僅交於一點的拋物線
(5) 和 \(x\) 軸交於兩點的拋物線
答案
設 \( f(x) = m(x-a)(x-b) \)，\( g(x) = n(x-b)(x-c) \)，其中 \( m > 0 \)，\( n > 0 \)。
則：
\[
f(x) + g(x) = (x-b)\left[ (m+n)x - (ma + nc) \right]
\]
因 \( m + n > 0 \)，故 \( f(x) + g(x) \) 必為二次函數，圖形必為拋物線。
(1) 若 \( \dfrac{ma + nc}{m + n} = b \)，則圖形與 \( x \) 軸恰交於一點 \( (b, 0) \)。
(2) 若 \( \dfrac{ma + nc}{m + n} \neq b \)，則圖形與 \( x \) 軸交於兩點。
故選 (4)(5)
102學測數學考科-10
坐標平面上考慮兩點 \(Q_1(1, 0)\)、\(Q_2(-1, 0)\)。在下列各方程式的圖形中,請選出其上至少有一點 \(P\) 滿足內積 \(\overrightarrow{PQ_1} \cdot \overrightarrow{PQ_2} < 0\) 的選項。
(1) \(y = \frac{1}{2}\)
(2) \(y = x^2 + 1\)
(3) \(-x^2 + 2y^2 = 1\)
(4) \(4x^2 + y^2 = 1\)
(5) \(\frac{x^2}{2} – \frac{y^2}{2} = 1\)
答案