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103學測數學考科-01

請問下列哪一個選項等於 $ \log\left(2^{\left(3^5\right)}\right) $?
(1) $ 5\log\left(2^3\right) $
(2) $ 3 \times 5\log 2 $
(3) $ 5\log 2 \times \log 3 $
(4) $ 5(\log 2 + \log 3) $
(5) $ 3^5 \log 2 $

[單選]

答案

對數運算的基本性質：$\log a^b = b \log a$。所以 $\log 2^{(3^5)} = 3^5 \log 2 = 243 \log 2$。選項(5)正確。

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103學測數學考科-02

令 $A(5,0,12)$、$B(-5,0,12)$ 為坐標空間中之兩點,且令 $P$ 為 $xy$ 平面上滿足 $PA = PB = 13$ 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 $P$？
(1) $(5,0,0)$
(2) $(5,5,0)$
(3) $(0,12,0)$
(4) $(0,0,0)$
(5) $(0,0,24)$

[單選]

答案

計算 $P$ 點的條件：$PA = PB = 13$,且 $P$ 在 $xy$ 平面上。通過計算,$P$ 點的坐標為 $(0,0,0)$。因此,正確答案是 (4) $(0,0,0)$。

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103學測數學考科-03

在坐標平面上,以 $(1,1)$、$(-1,1)$、$(-1,-1)$ 及 $(1,-1)$ 等四個點為頂點的正方形,與圓 $x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ 有幾個交點？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 0 個

[單選]

答案

將圓的方程化簡為 $(x+1)^2 + (y+1)^2 = 1$,圓心為 $(-1,-1)$,半徑為 1。正方形與圓的交點數為 2 個。因此,正確答案是 (2) 2 個。

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103學測數學考科-04

請問滿足絕對值不等式 $|4x – 12| \leq 2x$ 的實數 $x$ 所形成的區間,其長度為下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6

[單選]

答案

原式分兩段討論如下：

**① 當 $ x \ge 3 $ 時**
\[
|4x-12| = 4x-12
\]
代入得
\[
4x-12 \le 2x
\]
\[
2x \le 12 \quad \Rightarrow \quad x \le 6
\]
得
\[
3 \le x \le 6
\]

**② 當 $ x < 3 $ 時** \[ |4x-12| = 12-4x \] 代入得 \[ 12-4x \le 2x \] \[ 12 \le 6x \quad \Rightarrow \quad x \ge 2 \] 得 \[ 2 \le x < 3 \] **綜合 ①、②** \[ 2 \le x \le 6 \] 區間長度為 \[ 6 - 2 = 4 \] 故選 (4)。

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設 $(1 + \sqrt{2})^6 = a + b\sqrt{2}$,其中 $a, b$ 為整數。請問 $b$ 等於下列哪一個選項？
(1) $ C_0^6 + 2C_2^6 + 2^2 C_4^6 + 2^3 C_6^6 $
(2) $ C_1^6 + 2C_3^6 + 2^2 C_5^6 $
(3) $ C_0^6 + 2C_1^6 + 2^2 C_2^6 + 2^3 C_3^6 + 2^4 C_4^6 + 2^5 C_5^6 + 2^6 C_6^6 $
(4) $ 2C_1^6 + 2^2 C_3^6 + 2^3 C_5^6 $
(5) $ C_0^6 + 2^2 C_2^6 + 2^4 C_4^6 + 2^6 C_6^6 $

[單選]

答案

根據二項式定理,$(1 + \sqrt{2})^6 = \sum\limits_{k=0}^6 C_k^6 (\sqrt{2})^k$。因此,$b = C_1^6 + 2C_3^6 + 2^2C_5^6$。正確答案是 (2)。

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103學測數學考科-06

某疾病可分為兩種類型：第一類占 70%,可藉由藥物 A 治療,其每一次療程的成功率為 70%,且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類,藥物 A 治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型,且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下,進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) 0.25
(2) 0.3
(3) 0.35
(4) 0.4
(5) 0.45

[單選]

答案

根據條件機率的定義，得：
\[
P(\text{第二次成功} \mid \text{第一次失敗}) = \frac{P(\text{第一次失敗} \cap \text{第二次成功})}{P(\text{第一次失敗})}
\]
\[
= \frac{70\% \times 30\% \times 70\%}{70\% \times 30\% + 30\% \times 100\%}
= \frac{49}{170}
\approx 0.288
\]

故選 (2)。

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103學測數學考科-07

設坐標平面上,$x$ 坐標與 $y$ 坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。
(1) $y = x^2$
(2) $3y = 9x + 1$
(3) $y^2 = -x – 2$
(4) $x^2 + y^2 = 3$
(5) $y = \log_9 x + \frac{1}{2}$

[多選]

答案

(1) 有格點 $ (1, 1) $。
(2) 若 $ x, y $ 為整數，則 $ 3y $ 是 3 的倍數，但 $ 9x + 1 $ 不是 3 的倍數，
故圓形無格點。
(3) 有格點 $ (-3, 1) $。
(4) 兩非負整數和為 3 之情形：$ 0+3 $ 與 $ 1+2 $，
但因 $ 2, 3 $ 皆非完全平方數，
故圓形無格點。
(5) 有格點 $ (3, 1) $。
故選 (1)(3)(5)。

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103學測數學考科-08

關於下列不等式,請選出正確的選項。
(1) $\sqrt{13} > 3.5$
(2) $\sqrt{13} < 3.6$
(3) $\sqrt{13} – \sqrt{3} > \sqrt{10}$
(4) $\sqrt{13} + \sqrt{3} > \sqrt{16}$
(5) $\frac{1}{\sqrt{13} – \sqrt{3}} > 0.6$

[多選]

答案

(1) ∵ $ 3.5^2 = 12.25 < 13 $，∴ $ \sqrt{13} > 3.5 $。

(2) ∵ $ 3.6^2 = 12.96 < 13 $，∴ $ \sqrt{13} > 3.6 $。

(3) ∵ $ (\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = 13 + 2\sqrt{30} > 13 $，
∴ $ \sqrt{3} + \sqrt{10} > \sqrt{13} $，即 $ \sqrt{13} - \sqrt{3} < \sqrt{10} $。 (4) ∵ $ (\sqrt{13} + \sqrt{3})^2 = 16 + 2\sqrt{39} > 16 $，
∴ $ \sqrt{13} + \sqrt{3} > \sqrt{16} = 4 $。

(5) $ \dfrac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{10} < \dfrac{3.7 + 1.8}{10} = \dfrac{6}{10} = 0.6 $。故選 (1)(4)。

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103學測數學考科-09

一物體由坐標平面中的點 $(-3,6)$ 出發,沿著向量 $\overrightarrow{v}$ 所指的方向持續前進,可以進入第一象限。請選出正確的選項。
(1) $\overrightarrow{v} = (1,-2)$
(2) $\overrightarrow{v} = (1,-1)$
(3) $\overrightarrow{v} = (0.001,0)$
(4) $\overrightarrow{v} = (0.001,1)$
(5) $\overrightarrow{v} = (-0.001,1)$

[多選]

答案

檢查各向量是否能使物體進入第一象限：
(1) $\overrightarrow{v} = (1,-2)$ 會使物體向下移動,無法進入第一象限。
(2) $\overrightarrow{v} = (1,-1)$ 會使物體向右下移動,可以進入第一象限。
(3) $\overrightarrow{v} = (0.001,0)$ 會使物體向右移動,可以進入第一象限。
(4) $\overrightarrow{v} = (0.001,1)$ 會使物體向右上方移動,可以進入第一象限。
(5) $\overrightarrow{v} = (-0.001,1)$ 會使物體向左上方移動,無法進入第一象限。
因此,正確答案是 (2)(3)(4)。

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103學測數學考科-10

設 $f(x)$ 為實係數二次多項式,且已知 $f(1) > 0$、$f(2) < 0$、$f(3) > 0$。令 $g(x) = f(x) + (x – 2)(x – 3)$,請選出正確的選項。
(1) $y = f(x)$ 的圖形是開口向下的拋物線
(2) $y = g(x)$ 的圖形是開口向下的拋物線
(3) $g(1) > f(1)$
(4) $g(x) = 0$ 在 1 與 2 之間恰有一個實根
(5) 若 $\alpha$ 為 $f(x) = 0$ 的最大實根,則 $g(\alpha) > 0$

[多選]

答案

根據題意,$f(x)$ 的圖形開口向上,因此 (1) 錯誤。
$g(x) = f(x) + (x - 2)(x - 3)$ 的圖形也是開口向上,(2) 錯誤。
$g(1) = f(1) + (1 - 2)(1 - 3) = f(1) + 2 > f(1)$,(3) 正確。
$g(x) = 0$ 在 1 與 2 之間恰有一個實根,(4) 正確。
若 $\alpha$ 為 $f(x) = 0$ 的最大實根,則$2\lt\alpha\lt3$, $g(\alpha) = (\alpha - 2)(\alpha - 3) < 0$,(5) 錯誤。因此,正確答案是 (3)(4)。

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