105學測數學

設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式，已知 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 時有最小值1且 \( f(3)=3 \)。請問 \( f(1) \) 之值為下列哪一選項？
(1) 5
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5)條件不足，無法確定。

請問 \(\sin 73^\circ\)、\(\sin 146^\circ\)、\(\sin 219^\circ\)、\(\sin 292^\circ\)、\(\sin 365^\circ\) 這五個數值的中位數是哪一個？
(1) \(\sin 73^\circ\)
(2) \(\sin 146^\circ\)
(3) \(\sin 219^\circ\)
(4) \(\sin 292^\circ\)
(5) \(\sin 365^\circ\)。

坐標平面上兩圖形 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 的方程式分別為：\(\Gamma_1 : (x+1)^2 + y^2 = 1\)、\(\Gamma_2 : (x+y)^2 = 1\)。請問 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 共有幾個交點？
(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個。

放射性物質的半衰期T定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質A、B，開始記錄時容器中物質A的質量為物質B的兩倍，而120小時後兩種物質的質量相同。已知物質A的半衰期為7.5小時，請問物質B的半衰期為幾小時？
(1)8小時
(2)10小時
(3)12小時
(4)15小時
(5)20小時。

坐標空間中一質點自點$P(1,1,1)$沿著方向$a=(1,2,2)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$b=(-2,2,-1)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面$x=2$上？
(1)$1$秒
(2)$2$秒
(3)$3$秒
(4)$4$秒
(5)永遠不會到達。

設 \((a_i)\) 為一等比數列。已知前十項的和為 \(\sum\limits_{i=1}^{10} a_i = 80\)，前五個奇數項的和為 \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 120\)，請選出首項 \( a_1 \) 的正確範圍。
(1) \( a_1 \lt 80 \)
(2) \( 80 \leq a_1 \lt 90 \)
(3) \( 90 \leq a_1 \lt 100 \)
(4) \( 100 \leq a_1 \lt 110 \)
(5) \( 110 \leq a_1 \)。

下列各方程式中，請選出有實數解的選項：
(1) \(|x|+|x-5|=1\)
(2) \(|x|+|x-5|=6\)
(3) \(|x|-|x-5|=1\)
(4) \(|x|-|x-5|=6\)
(5) \(|x|-|x-5|=-1\)。

下列各直線中，請選出和z軸互為歪斜線的選項。
(1) \( L_1 : \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} \)
(2) \( L_2 : \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 1 \end{cases} \)
(3) \( L_3 : \begin{cases} z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases} \)
(4) \( L_4 : \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \)
(5) \( L_5 : \begin{cases} y = 1 \\ z = 1 \end{cases} \)。

設 \( a, b, c \) 皆為正整數，考慮多項式 \( f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2 \)，請選出正確的選項。
(1) \( f(x) = 0 \) 無正根
(2) \( f(x) = 0 \) 一定有實根
(3) \( f(x) = 0 \) 一定有虛根
(4) \( f(1) + f(-1) \) 的值是偶數
(5)若 \( a + c \gt b + 3 \)，則 \( f(x) = 0 \) 有一根介於 -1 與 0 之間。