某遊戲共有210位玩家,每位玩家均持有寶石,其中持有1顆的有1位,持有2顆的有2位,依此類推,持有20顆寶石的有20位。 試問這些玩家每人持有寶石數量的第90百分位數為下列哪一個選項？
(1) 16；
(2) 17；
(3) 18；
(4) 19；
(5) 20
1. 先計算前\(n\)組的累積人數：
- 前\(n\)組累積人數\(S_n=\sum_{k = 1}^{n}k=\frac{n(n + 1)}{2}\)。
- 計算\(\frac{n(n + 1)}{2}\),當\(n = 18\)時,\(S_{18}=\frac{18\times(18 + 1)}{2}=171\)人；當\(n = 19\)時,\(S_{19}=\frac{19\times(19 + 1)}{2}=190\)人。
2. 因為\(210\times90\% = 189\)人,\(171\lt189\lt190\),所以第\(90\)百分位數落在持有\(19\)顆寶石這一組。答案：(4)
已知\(a\),\(b\),\(c\)為實數,且滿足\(1\lt a\lt10\)、\(b = \log a\)、\(c = \log b\),試選出正確的選項。
(1) \(c\lt0\lt b\lt1\)；
(2) \(0\lt c\lt1\lt b\)；
(3) \(0\lt c\lt b\lt1\)；
(4) \(1\lt c\lt b\)；
(5) \(c\lt b\lt0\)
1. 已知\(1\lt a\lt10\),對於\(y = \log x\)（假設以\(10\)為底）,當\(x = a\)時,\(b=\log a\),由對數函數性質可得\(0\lt\log a\lt1\),即\(0\lt b\lt1\)。
2. 又\(c = \log b\),因為\(0\lt b\lt1\),所以\(\log b\lt0\),即\(c\lt0\)。所以\(c\lt0\lt b\lt1\)。答案：(1)
某射擊遊戲的玩家要避開障礙物射擊目標。今在遊戲畫面中設立一直角坐標系,以長方形螢幕左下角點\(O\)為原點,螢幕下方的邊緣為\(x\)軸、螢幕左方的邊緣為\(y\)軸,目標物放在點\(P(12,10)\)。畫面中有兩面牆（牆厚度可忽略不計）,一面牆由點\(A(10,5)\)水平延伸到點\(B(15,5)\),另一面牆由點\(C(0,6)\)水平延伸到點\(D(9,6)\),如右圖之示意圖。若玩家在點\(Q\)可直線射擊點\(P\)的目標物,不會被兩面牆阻擋。下列哪一個選項有可能是點\(Q\)的坐標？
(1) \((6,3)\)；
(2) \((7,3)\)；
(3) \((8,5)\)；
(4) \((9,1)\)；
(5) \((9,2)\)
1. 分別求出直線\(AP\)、\(BP\)、\(CP\)、\(DP\)的方程。
- 直線\(AP\)的斜率\(k_{AP}=\frac{10 - 5}{12 - 10}=\frac{5}{2}\),方程為\(y - 5=\frac{5}{2}(x - 10)\),即\(y=\frac{5}{2}x - 20\)。
- 直線\(BP\)的斜率\(k_{BP}=\frac{10 - 5}{12 - 15}=-\frac{5}{3}\),方程為\(y - 5=-\frac{5}{3}(x - 15)\),即\(y=-\frac{5}{3}x + 30\)。
- 直線\(CP\)的斜率\(k_{CP}=\frac{10 - 6}{12 - 0}=\frac{1}{3}\),方程為\(y - 6=\frac{1}{3}(x - 0)\),即\(y=\frac{1}{3}x + 6\)。
- 直線\(DP\)的斜率\(k_{DP}=\frac{10 - 6}{12 - 9}=\frac{4}{3}\),方程為\(y - 6=\frac{4}{3}(x - 9)\),即\(y=\frac{4}{3}x - 6\)。
2. 將各選項代入判斷,只有\((7,3)\)不在兩面牆所在直線與目標物\(P\)連線的阻擋區域內。答案：(2)
已知坐標平 面上有一向量\(\vec{v}=(-2,3)\)及兩點\(A\)、\(B\),且點\(A\)的\(x\)坐標和\(y\)坐標、點\(B\)的\(x\)坐標和\(y\)坐標都落在區間\([0,1]\)內 ,試問\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\)的最大值為下列哪一個選項？
(1) \(\sqrt{13}\)；
(2) \(2\sqrt{13}\)；
(3) \(3\)；
(4) \(5\)；
(5) \(\sqrt{13}+2\)
1. 設\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\),\(0\leq x_1,y_1,x_2,y_2\leq1\),則\(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\)。
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-2(x_2 - x_1)+3(y_2 - y_1)=-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\)。
3. 求\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\)的最大值,\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert=\vert-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\vert\leq\vert-2x_2\vert+\vert2x_1\vert+\vert3y_2\vert+\vert-3y_1\vert\)。
- 因為\(0\leq x_1,x_2,y_1,y_2\leq1\),所以\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\leq2 + 2 + 3 + 3 = 5\)。答案：(4)
設二次函數\(f(x)=x^{2}+bx + c\),其中\(b\),\(c\)為實數 。已知\(f(x – 2)=f(-x – 2)\)對任意實數\(x\)均成立,且當\(-3\leq x\leq1\)時,\(f(x)\)的最大值會是最小值的4倍,則\(f(x)\)的最小值是下列哪一個選項？
(1) \(0\)；
(2) \(1\)；
(3) \(3\)；
(4) \(4\)；
(5) \(6\)
1. 由\(f(x - 2)=f(-x - 2)\)可知二次函數\(f(x)\)的對稱軸為\(x=-2\),即\(-\frac{b}{2}=-2\),解得\(b = 4\)。
2. 所以\(f(x)=x^{2}+4x + c=(x + 2)^{2}+c - 4\),在\(-3\leq x\leq1\)上,\(f(x)\)在\(x=-2\)取得最小值\(c - 4\),在\(x = 1\)取得最大值\(1 + 4 + c = 5 + c\)。
3. 已知最大值是最小值的\(4\)倍,即\(5 + c = 4(c - 4)\),解得\(c = 7\)。所以最小值\(c - 4 = 3\)。答案：(3)
聖誕樹燈飾相似三角形題”,”某大樓居民在大樓外牆展示聖誕樹造型燈飾，如圖所示，從五樓外牆某處\( P \)向四樓地板的兩端\( A,B \)拉小燈泡形成等腰三角形\( PAB \)，其中\( PA=PB \)；向三樓地板的兩端\( C,D \)拉小燈泡形成等腰三角形\( PCD \)；向二樓地板的兩端\( E,F \)拉小燈泡形成等腰三角形\( PEF \)。假設每層樓等高且樓地板長度相等，若五樓地板在三角形\( PAB \)內部所截出的線段長度為樓地板長度的\( \frac{1}{3} \)，則五樓地板在三角形\( PEF \)內部所截出的線段長度是樓地板長度的幾分之幾？（燈飾粗細可忽略不計）
(1) \( \frac{1}{7} \)
(2) \( \frac{1}{6} \)
(3) \( \frac{1}{5} \)
(4) \( \frac{1}{9} \)
(5) \( \frac{1}{4} \)
(1)考慮點P到五樓地板的高度
有一城市分為東、西兩區。兩區各有一個氣溫偵測站,該城市當天的最高溫 （單 位：攝氏度） 是取這兩區當天氣溫的最大值來記錄。下表顯示東、西兩區某月（共30天）每日最高溫分布的情形。
| 溫度\(t\) | \(18\leq t\lt24\) | \(24\leq t\lt30\) | \(30\leq t\lt36\) | \(36\leq t\) |
| 東區（天數） | 0 | 11 | 14 | 5 |
| 西區（天數） | 3 | 12 | 15 | 0 |
根據上表,該城市當月每日最高溫分布的情形如下表。
| 溫度\(t\) | \(18\leq t\lt24\) | \(24\leq t\lt30\) | \(30\leq t\lt36\) | \(36\leq t\) |
| 天數 | \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(D\) |
試選出有可能為數組\((A,B,C,D)\)的選項。
(1) \((0,15,15,0)\)；
(2) \((3,12,15,5)\)；
(3) \((0,9,16,5)\)；
(4) \((3,7,15,5)\)；
(5) \((0,12,13,5)\)
（3）由最高溫度36,介於30-36考慮下來
已知正實數數列\(a\),\(b\),\(c\),\(d\),\(e\)為等比數列,且\(a\lt b\lt c\lt d\lt e\),試選出下列為等比數列的選項。
(1) \(a\),\(-b\),\(c\),\(-d\),\(e\)；
(2) \(e\),\(d\),\(c\),\(b\),\(a\)；
(3) \(\log a\),\(\log b\),\(\log c\),\(\log d\),\(\log e\)；
(4) \(3^a\),\(3^b\),\(3^c\),\(3^d\),\(3^e\)；
(5) \(abc\),\(bcd\),\(cde\)
1. 設原等比數列公比為\(q\),\(q\gt1\)。
- (1)：是等比數列。
- (2)：\(\frac{d}{e}=\frac{1}{q}\),\(\frac{c}{d}=\frac{1}{q}\),\(\frac{b}{c}=\frac{1}{q}\),\(\frac{a}{b}=\frac{1}{q}\),是等比數列。
- (3)：\(\log b-\log a=\log\frac{b}{a}\),\(\log c-\log b=\log\frac{c}{b}\),若\(\log\frac{b}{a}=\log\frac{c}{b}\),則\(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\),原數列是等比數列,所以\(\log a\),\(\log b\),\(\log c\),\(\log d\),\(\log e\)是等差數列,不是等比數列。
- (4)：\(\frac{3^b}{3^a}=3^{b - a}\),\(\frac{3^c}{3^b}=3^{c - b}\),\(b - a\neq c - b\),不是等比數列。
- (5)：\(\frac{bcd}{abc}=\frac{d}{a}=q^3\),\(\frac{cde}{bcd}=\frac{e}{b}=q^3\),是等比數列。答案：（1）(2)(5)
已知多項式\(f(x)\)除以\(x^{2}+5x + 1\)後,所得出的商式為\(x^{3}+7x^{2}+x + 3\),試選出下列可能為\(f(x)\)的選項。
(1) \(2(x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)\)；
(2) \((x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)-x\)；
(3) \((x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)+x^{2}\)；
(4) \((x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x\)；
(5) \((x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x^{2}\)
$\begin{align*}
&已知f(x)=(x^2+5x+1)(x^3+7x^2+x+3)+r(x)，其中\deg r(x)\leq1或r(x)=0。\\
\\
&逐一判斷：\\
&(1) ×：商式並非2(x^3+7x^2+x+3)；\\
&(2) ○：r(x)=-x滿足\deg r(x)\leq1；\\
&(3) ×：r(x)=x^2不滿足\deg r(x)\leq1；\\
&(4) ×：展開得r(x)=x^2+4x+1，不滿足\deg r(x)\leq1；\\
&(5) ○：展開得r(x)=5x+1，滿足\deg r(x)\leq1；\\
\\
&故選(2)(5)。
\end{align*}$
有兩個光點在一條長度為120公分的直線形軌道上移動,碰到端點就反向繼續移動。一開始兩點分別在軌道的兩端相向而動,光點\(A\)、光點\(B\)的移動速率分別為每秒5公分及每秒10公分。 試選出正確的選項。
(1) 兩個光點第一次相遇的位置,與其中一個端點的距離為40公分；
(2) 光點\(A\)的位置呈週期現象,週期為24秒；
(3) 當光點\(A\)回到\(A\)的出發點時,光點\(B\)也在\(B\)的出發點；
(4) 兩個光點第二次相遇在其中一個端點上；
(5) 兩個光點在軌道上共有3個不同的相遇位置
$\begin{align*}
&(1) ○：光點A、B速率比5:10=1:2，第一次相遇距A出發點：120×\frac{1}{1+2}=40公分；\\
&(2) ×：光點A週期=\frac{240}{5}=48秒；\\
&(3) ○：光點B週期=\frac{240}{10}=24秒，A回出發點時B也回出發點；\\
&(4) ○(5) ×：相遇位置週而復始，僅有「距A出發點40公分」「B出發點」2個不同位置；\\
\\
&故選(1)(3)(4)。
\end{align*}$
