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113學測數學B試題-11

某國家過去五年的碳排放總量，由第 1 年的 $ X $ 億公噸二氧化碳當量 (CO2e) 下降至第 5 年的 $ Y $ 億公噸二氧化碳當量 (CO2e)，達到每年平均減碳 5\% 的效益，亦即 $ Y = (1 – 0.05)^4 X $。

將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表，其中
第 $ n $ 年碳排放成長率 $ = \dfrac{(\text{第 } n \text{ 年碳排放總量}) – (\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量})}{\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量}} $，$ n = 2, 3, 4, 5 $。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{第 1 年} & \text{第 2 年} & \text{第 3 年} & \text{第 4 年} & \text{第 5 年} \\
\hline
\text{碳排放總量} & X & A & B & C & Y \\
\text{(億公噸 CO2e)} & & & & & \\
\hline
\text{碳排放年成長率} & \diagdown & -0.07 & p & q & r \\
\hline
\end{array}
\]

試選出正確的選項。

(1) $ A = 0.93X $

(2) $ Y \leq 0.8X $

(3) $ \dfrac{-0.07 + p + q + r}{4} = -0.05 $

(4) $ \sqrt[4]{\dfrac{Y}{X}} – 1 = -0.05 $

(5) $ 0.93(1+p)(1+q)(1+r) = (0.95)^4 $

[多選]

答案

$\begin{align*}
&(1) ○：由\frac{A-X}{X}=-0.07得A=0.93X；\\
&(2) ×：計算(1-0.05)^4≈0.815，故Y≈0.815X>0.8X；\\
&(3) ×：平均成長率需用幾何平均數，非算術平均；\\
&(4) ○：由Y=(1-0.05)^4X，得\sqrt[4]{\frac{Y}{X}}-1=0.95-1=-0.05；\\
&(5) ○：由幾何平均得\sqrt[4]{0.93(1+p)(1+q)(1+r)}=0.95，即0.93(1+p)(1+q)(1+r)=0.95^4；\\
\\
&故選(1)(4)(5)。
\end{align*}$

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113學測數學B試題-12

小明寫了一個程式讓機器人在$2×2$的棋盤中移動,如圖所示。每執行一次,程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向,不同方向被選擇的機率均相等,並指示機器人依該方向移動一格,但若選到的方向會跑出棋盤,則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動,假設機器人的初始位置在$A$。令執行程式$n$次後,機器人停留在$A$、$B$、$C$、$D$的機率分別為$a_n$、$b_n$、$c_n$和$d_n$。試選出正確的選項。
(1) $b_1 = \frac{1}{4}$；
(2) $b_2=\frac{1}{8}$；
(3) $a_2+d_2=\frac{3}{4}$；
(4) $b_{99}=c_{99}$；
(5) $a_{100} + d_{100} \gt\frac{ 1}{2}$

[多選]

答案

$\begin{align*}
&(1) ○：b_1=\frac{1}{4}；\\
&(2) ×：計算得b_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}；\\
&(3) ×：a_2=\frac{3}{8}、d_2=\frac{1}{8}，故a_2+d_2=\frac{1}{2}；\\
&(4) ○：由遞迴式及b_1=c_1=\frac{1}{4}，得b_n=c_n，故b_{99}=c_{99}；\\
&(5) ×：推導得a_n+d_n=\frac{1}{2}，故a_{100}+d_{100}=\frac{1}{2}；\\
\\
&故選(1)(4)。
\end{align*}$

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113學測數學B試題-13

矩陣方程與代數運算題”,”已知$ a,b,c,d $為實數，且$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。若$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2a+1 \\ 2b+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$，則$ c-3d $的值為何？

[選填]

答案

首先解第一個矩陣方程：
由$\begin{cases} a - b = 1 \\ 3a - 2b = 0 \end{cases}$，
由第一式得$ a = b + 1 $，代入第二式：
$ 3(b + 1) - 2b = 0 \implies b + 3 = 0 \implies b = -3 $，
則$ a = -3 + 1 = -2 $。

接著計算第二個矩陣方程：
$ 2a + 1 = 2 \times (-2) + 1 = -3 $，
$ 2b + 1 = 2 \times (-3) + 1 = -5 $，
因此$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 - (-5) \\ 3 \times (-3) - 2 \times (-5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$，
即$ c = 2 $，$ d = 1 $。

故$ c - 3d = 2 - 3 \times 1 = -1 $。

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113學測數學B試題14

某校全體高三學生都有報考學測數學$ A $或數學$ B $，在這些學生中只報考數學$ A $的學生占全體高三學生的$ \frac{3}{10} $。報考數學$ A $的學生中有$ \frac{5}{8} $的學生同時也報考數學$ B $。則只報考數學$ B $的學生在該校所有報考數學$ B $的學生中所占的比例為$ \frac{\boxed{}}{\boxed{}} $。（化為最簡分數）

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答案

本題可透過**設定總人數**，結合集合比例關係求解：

1. **設定總人數並分析報考數學$ A $的結構**：
設全校高三學生總人數為$ x $。
- 只報考數學$ A $的學生人數為$ \frac{3}{10}x $。
- 設報考數學$ A $的總人數為$ A $，其中只報考$ A $的比例為$ 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} $，故$ \frac{3}{8}A = \frac{3}{10}x \implies A = \frac{4}{5}x $。

2. **計算同時報考$ A $和$ B $、只報考$ B $的人數**：
- 同時報考$ A $和$ B $的學生人數：$ \frac{5}{8}A = \frac{1}{2}x $。
- 只報考$ B $的學生人數：由總人數關係$ \frac{3}{10}x + B_{\text{只}} + \frac{1}{2}x = x $，得$ B_{\text{只}} = \frac{1}{5}x $。

3. **計算比例**：
報考$ B $的總人數為$ \frac{1}{5}x + \frac{1}{2}x = \frac{7}{10}x $，故只報考$ B $的比例為$ \frac{\frac{1}{5}x}{\frac{7}{10}x} = \frac{2}{7} $。

综上，答案為$\boxed{\dfrac{2}{7}}$。

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113學測數學B試題15

已知$ P_1、P_2、Q_1、Q_2、R $為平面上相異五點，其中$ P_1、P_2、R $三點不共線，且滿足$ \overrightarrow{P_1R} = 4\overrightarrow{P_1Q_1} $，$ \overrightarrow{P_2R} = 7\overrightarrow{P_2Q_2} $，則$ \overrightarrow{Q_1Q_2} =$ __________$\overrightarrow{P_1Q_1}$ + __________$ \overrightarrow{P_2Q_2} $。

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答案

$\begin{align*}
&\because \overrightarrow{P_1R}=4\overrightarrow{P_1Q_1},\ \overrightarrow{P_2R}=7\overrightarrow{P_2Q_2} \\
&\implies \overrightarrow{P_1Q_1}:\overrightarrow{Q_1R}=1:3,\ \overrightarrow{P_2Q_2}:\overrightarrow{Q_2R}=1:6 \\
&\implies \overrightarrow{Q_1Q_2}=\overrightarrow{Q_1R}+\overrightarrow{RQ_2}=3\overrightarrow{P_1Q_1}-6\overrightarrow{P_2Q_2}
\end{align*}$

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113學測數學B試題16

在空間坐標系中，有一球心坐標在 $ O(0,0,0) $ 且北極點在 $ N(0,0,2) $ 的地球儀。已知球面上點 $ A $ 坐標為 $ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3} \right) $，赤道上距離點 $ A $ 最遠的點為點 $ P $，則在通過點 $ A $、點 $ P $ 的大圓上這兩點的劣弧長為 $ \frac{\Box}{\Box} \pi $（化為最簡分數）

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答案

1. 球半徑 $ R=2 $，驗證 $ A $ 在球面上。
2. 赤道為 $ z=0 $ 的大圓。
3. 赤道上離 $ A $ 最遠點 $ P $ 對應向量與 $ \vec{OA} $ 夾角最大。
4. 計算得 $ \vec{OA} \cdot \vec{OP} $ 最小時 $ \cos\theta = -\frac{1}{2} $，夾角 $ \theta = \frac{2\pi}{3} $。
5. 大圓劣弧長 $ = R\theta = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $。

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113學測數學B試題17

在一圓的圓周上取 12 個等分點並以順時針方向依序編 1 號至 12 號。由這 12 個點任取 3 點為頂點所形成的三角形中，三個內角的角度由小到大會成等差數列的三角形有 $ \Box $ 個。

[選填]

答案

76 分成公差0,15,30,45四類來討論

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113學測數學B試題18

[題組說明18-20]
如右圖所示，考慮長方體的石塊上某一頂點 $ A $ 及包含點 $ A $ 的一個面，令這個面的各邊中點分別為 $ B, E, F, D $。此長方體上包含點 $ B $ 的另一個面，令其各邊中點分別為 $ B, C, H, G $。已知 $ \overline{BC} = 8 $，$ \overline{BD} = \overline{DC} = 9 $。現將此石塊截去八個角，使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。根據上述，試回答下列問題。
18.] 截角後的石塊為幾面體？（單選題，3 分）
(1) 八面體
(2) 十面體
(3) 十二面體
(4) 十四面體
(5) 十六面體

[非選擇題]

答案

$\textbf{答案：(4)}$

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113學測數學B試題19

[題組說明18-20]
試求 ∆BCD 的面積。（非選擇題，4 分）

[非選擇]

答案

$\begin{align*}
&【解法一】\overline{BC}邊上的高為\sqrt{9^2 - 4^2}=\sqrt{65}，\\
&故\triangle BCD面積=\frac{1}{2}×8×\sqrt{65}=4\sqrt{65}；\\
\\
&【另解（海龍公式）】半周長s=\frac{9+9+8}{2}=13，\\
&面積=\sqrt{s(s-9)(s-9)(s-8)}=\sqrt{13×4×4×5}=4\sqrt{65}。
\end{align*}$

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113學測數學B試題20

[題組18-20]試求 $ \overline{AD} $ 的長度與四面體 $ ABCD $ 的體積，並求此四面體以 $ \triangle BCD $ 為底面時，頂點 $ A $ 到底面的高度。
\[ \left( \text{角錐體積} = \frac{\text{底面積} \times \text{高}}{3} \right) \]（非選擇題，8 分）

[非選擇]

答案

$\begin{align*}
&(1) 由\overline{AB}=\sqrt{9^2-\overline{AD}^2}=\overline{AC}，知\triangle ABC為等腰直角三角形，\\
&故\overline{AB}=\overline{AC}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}，進而\overline{AD}=\sqrt{9^2-(4\sqrt{2})^2}=7；\\
\\
&(2) 四面體ABCD體積：\\
&\frac{1}{3}×\triangle ABC面積×\overline{AD}=\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}\right)×7=\frac{112}{3}；\\
\\
&(3) 令A到底面\triangle BCD的高為h，由體積公式：\\
&\frac{1}{3}×4\sqrt{65}×h=\frac{112}{3} \implies h=\frac{28\sqrt{65}}{65}。
\end{align*}$

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