114學測數學A
114學測數學A考科_02
坐標平面上，\( P(a, 0) \) 為 x 軸上一點，其中 \( a \gt 0 \)。令 \( L_1 \)、\( L_2 \) 為通過 \( P \) 點，斜率分別為 \( -\frac{4}{3} \)、\( -\frac{3}{2} \) 的直線。已知 \( L_1 \)、\( L_2 \) 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 3，試問 \( a \) 值為何？
(1) \( 3\sqrt{2} \)
(2) 6
(3) \( 6\sqrt{2} \)
(4) 9
(5) \( 8\sqrt{2} \)
答案
114學測數學A考科_03
某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演5個、小提琴表演4個、歌唱表演3個等三類表演共12個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
(1) \(5!\times4!\times3!\)
(2) \(2\times5!\times4!\times3!\)
(3) \(3\times5!\times4!\times3!\)
(4) \(4\times5!\times4!\times3!\)
(5) \(6\times5!\times4!\times3!\)
答案
114學測數學A考科_04
坐標平面上，x 坐標與 y 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 \(y=\log_2 x\)、x 軸與直線 \(x=61\) 所圍有界區域的內部 (不含邊界) 共有多少個格子點？
(1) 88
(2) 89
(3) 90
(4) 91
(5) 92
答案
區域為 \(1 \lt x \lt 61\)，\(0 \lt y \lt \log_2 x\)。
當 \(y=1\)，\(2 \lt x \lt 61\)，\(x=3\) 到 \(30\)，共28個；
\(y=2\)，\(4 \lt x \lt 61\)，\(x=5\) 到 \(30\)，共26個；
\(y=3\)，\(8 \lt x \lt 61\)，\(x=9\) 到 \(30\)，共22個；
\(y=4\)，\(16 \lt x \lt 61\)，\(x=17\) 到 \(30\)，共14個；
總和 \(28+26+22+14=90\)，故選(3)。
114學測數學A考科_05
設 \(0\leq\theta\leq2\pi\)。已知所有滿足 \(\sin 2\theta \gt \sin \theta\) 且 \(\cos 2\theta \gt \cos \theta\) 的 \(\theta\) 可表為 \(a\pi \lt \theta \lt b\pi\)，其中 \(a\)，\(b\) 為實數，試問 \(b-a\) 值為何？
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{1}{2}\)
(3) \(\frac{2}{3}\)
(4) \(\frac{3}{4}\)
(5) 1
答案
由 \(\cos 2\theta \gt \cos \theta\) 得 \(\cos \theta \lt -\frac{1}{2}\)；
由 \(\sin 2\theta \gt \sin \theta\) 得 \(\sin \theta(2\cos\theta-1) \gt 0\)，結合得 \(\sin \theta \lt 0\) 且 \(\cos \theta \lt -\frac{1}{2}\)。
解得 \(\pi \lt \theta \lt \frac{4\pi}{3}\)，故 \(a=1\)，\(b=\frac{4}{3}\)，\(b-a=\frac{1}{3}\)，選(1)。
114學測數學A考科_06
坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)。已知 \(\overset{\rightharpoonup}{u}-\overset{\rightharpoonup}{v}=(2,-1,0)\)，且 \(\overset{\rightharpoonup}{v}-\overset{\rightharpoonup}{w}=(-1,2,3)\)。試問由 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\) 所張出的平行六面體之體積為何？
(1) \(2\sqrt{5}\)
(2) \(5\sqrt{2}\)
(3) \(2\sqrt{10}\)
(4) \(4\sqrt{5}\)
(5) \(4\sqrt{10}\)
答案
由三向量垂直，體積為 \(|\overset{\rightharpoonup}{u}||\overset{\rightharpoonup}{v}||\overset{\rightharpoonup}{w}|\)。
設 \(|\overset{\rightharpoonup}{u}|^2+|\overset{\rightharpoonup}{v}|^2+|\overset{\rightharpoonup}{w}|^2=15\)，且由已知向量差求得各向量長平方：\(|\overset{\rightharpoonup}{u}|^2=1\)，\(|\overset{\rightharpoonup}{v}|^2=4\)，\(|\overset{\rightharpoonup}{w}|^2=10\)。
體積 \(=\sqrt{1\cdot4\cdot10}=2\sqrt{10}\)，故選(3)。
114學測數學A考科_07
已知數列 \(\langle a_n \rangle\) 滿足 \(3a_{n+1} = a_n + n\) (對任意正整數 \(n\) 都成立) 且 \(a_1 = 2\)。令數列 \(\langle b_n \rangle\) 滿足 \(b_n = a_n – \frac{n}{2} + \frac{3}{4}\)。試選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 2\)
(2) \(b_2 = \frac{3}{4}\)
(3) 數列 \(\langle b_n \rangle\) 是公比為 \(\frac{2}{3}\) 的等比數列
(4) 對於任意正整數 \(n\)，\(3^n a_n\) 皆為正整數
(5) \(b_{10} \lt 10^{-4}\)
答案
114學測數學A考科_08
考慮坐標平面上滿足方程式 \(\frac{2^x}{8} = \frac{4^x}{2^y}\) 的點 \(P(x, y)\)，試選出正確的選項。
(1)當 \(x=3\) 時，滿足此方程式的解有相異 2 個
(2)若點 \((a, b)\) 滿足此方程式，則點 \((-a, -b)\) 也滿足此方程式
(3)所有可能的點 \(P(x, y)\) 構成的圖形為一個圓
(4)點 \(P(x, y)\) 可能在直線 \(x+y=4\) 上
(5)對於所有可能的點 \(P(x, y)\)，其 \(x-y\) 的最大值為 \(1+2\sqrt{2}\)
答案
114學測數學A考科_09
設 \(b\)、\(c\) 為實數。已知二次方程式 \(x^2+bx+c=0\) 有實根，但二次方程式 \(x^2+(b+2)x+c=0\) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \(c \lt 0\)
(2) \(b \lt 0\)
(3) \(x^2+(b+1)x+c=0\) 有實根
(4) \(x^2+(b+2)x-c=0\) 有實根
(5) \(x^2+(b-2)x+c=0\) 有實根
答案
114學測數學A考科_10
令 \(\Gamma\) 為坐標平面上 \(y=\sin \pi x\) 在 \(0 \leq x \leq 3\) 內之函數圖形。一水平直線 \(L: y=k\) 與 \(\Gamma\) 相交，其中三交點 \(P(x_1, k), Q(x_2, k), R(x_3, k)\) 滿足 \(x_1 \lt x_2 \lt 1 \lt x_3\)。試選出正確的選項。
(1) \(k \gt 0\)
(2) \(L\) 與 \(\Gamma\) 恰有 3 個交點
(3) \(x_1 + x_2 \lt 1\)
(4) 若 \(2PQ = QR\)，則 \(k = \frac{1}{2}\)
(5) \(L\) 與 \(\Gamma\) 所有交點的 \(x\) 坐標之和大於 5
答案