107指考數甲

設正立方體的稜長為a。
以A為原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系。
則A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0,a,0)，E(0,0,a)，G(a,a,a)。
可求得平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}\)：
\(\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)\)，\(\overrightarrow{BE}=(-a,0,a)\)。
設\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，由\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)且\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BE}=0\)，可得\(\begin{cases}-ax + ay = 0\\-ax + az = 0\end{cases}\)，令x = 1，解得y = 1，z = 1，所以\(\overrightarrow{n}=(1,1,1)\)。
\(\overrightarrow{AG}=(a,a,a)\)，\(\vert\overrightarrow{AG}\vert=\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}a\)。
A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}\vert}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\)，\(\overrightarrow{AB}=(a,0,0)\)，則\(d=\frac{\vert a\times1 + 0\times1 + 0\times1\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}\)。
所以A點到平面BDE的距離\(d=\frac{1}{3}\vert\overrightarrow{AG}\vert\)，即A點到平面BDE的距離是對角線AG長度的三分之一。

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由(1)已求得平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}=(1,1,1)\)，且\(\overrightarrow{AG}=(a,a,a)\)。
可發現\(\overrightarrow{AG}=a(1,1,1)=a\overrightarrow{n}\)，即\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}\)平行。
根據向量與平面垂直的判定，如果一個向量與一個平面的法向量平行，那麼這個向量與該平面垂直。
所以向量\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE垂直。

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根據點\((x_0,y_0,z_0)\)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\)。
對於平面2x + 2y - z = -7，即2x + 2y - z + 7 = 0，A(2,2,6)。
則A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2 - 6 + 7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert4 + 4 - 6 + 7\vert}{\sqrt{4 + 4 + 1}}=\frac{9}{3}=3\)。

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已知 \( |\overrightarrow{AG}| = 3 \times d(A, \text{平面}BDE) = 9 \)，且 \( \overrightarrow{AG} \parallel \) 平面 \( BDE \) 的法向量 \( \vec{n} = (2,2,-1) \)。

設 \( A(2,2,6) \)，\( G(x,y,z) \)，由 \( \overrightarrow{AG} \parallel (2,2,-1) \)，得參數式：
\[
\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-6}{-1} = t \implies x=2t+2,\ y=2t+2,\ z=-t+6
\]

由 \( |\overrightarrow{AG}| = 9 \)，得：
\[
\sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2} = 9 \implies \sqrt{9t^2} = 9 \implies |t|=3
\]

因 \( A、G \) 在平面 \( BDE \) 異側，取 \( t=-3 \)，故 \( G \) 的坐標為：
\[
x=2(-3)+2=-4,\ y=2(-3)+2=-4,\ z=-(-3)+6=9
\]

即 \( G \) 坐標為 \( \boxed{(-4,-4,9)} \)。

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已知 \( f(x) = -x^3 - 3x^2 + 3 \)，先求導數：
\[
f'(x) = -3x^2 - 6x, \quad f''(x) = -6x - 6
\]
(1) **極值與圖形**
令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( -3x(x+2) = 0 \implies x=0 \) 或 \( x=-2 \)：
- \( x=0 \) 時，\( f(0)=3 \)，且 \( f''(0)=-6 < 0 \)，故 \( (0, 3) \) 為**極大值點**； - \( x=-2 \) 時，\( f(-2)=-1 \)，且 \( f''(-2)=6 > 0 \)，故 \( (-2, -1) \) 為**極小值點**。

(2) **實根的區間**
由勘根定理，計算整數點的函數值：
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-3 & 3 \\
-2 & -1 \\
-1 & 1 \\
0 & 3 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\]
因 \( f(-3)f(-2) < 0 \)、\( f(-2)f(-1) < 0 \)、\( f(0)f(1) < 0 \)，故： - \( a_1 \in (-3, -2) \)，\( a_2 \in (-2, -1) \)，\( a_3 \in (0, 1) \)。
(3) **\( f(x) = a_i \) 的實根個數**
由 \( f(x) \) 的圖形（極大值3、極小值-1）：
- \( a_1 \in (-3, -2) < -1 \)，故直線 \( y=a_1 \) 與 \( f(x) \) 僅交於1點，即 \( f(x)=a_1 \) 有**1個實根**； - \( a_2 \in (-2, -1) < -1 \)，同理 \( f(x)=a_2 \) 有**1個實根**； - \( a_3 \in (0, 1) \in (-1, 3) \)，直線 \( y=a_3 \) 與 \( f(x) \) 交於3點，即 \( f(x)=a_3 \) 有**3個實根**。
(4) **\( f(f(x)) = 0 \) 的實根個數**
\( f(f(x))=0 \) 等價於 \( f(x)=a_1 \) 或 \( f(x)=a_2 \) 或 \( f(x)=a_3 \)，結合(3)的結果：
\[
\text{實根總數} = 1 + 1 + 3 = 5
\]
故 \( f(f(x))=0 \) 有**5個相異實根**。

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