109指考數甲(補考)

考慮兩個函數\(f(x)= \begin{cases}1 + x, & x \leq1 \\ 1, & x>1\end{cases}\)、\(g(x)= \begin{cases}1, & x \leq1 \\ 3 – x, & x>1\end{cases}\)。關於函數的極限，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在

某質點在數線上移動，已知其位置坐標為\(s(t)=\int_{0}^{t}(-x^{2}+6x)dx\)，其中\(t\)表時間且\(0 \leq t \leq10\)。若此質點的速度在時段\(0 \leq t < a\)遞增，且在時段\(a < t \leq10\)遞減，試選出正確的\(a\)值。 (1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)7

在坐標平面上，其\(x\)坐標與\(y\)坐標都是整數的點稱為「格子點」。試問滿足方程式\(\log _{2}(x – 1)=\log _{4}(25 – y^{2})\)的格子點\((x,y)\)共有幾個？
(1)4個
(2)5個
(3)6個
(4)8個
(5)12個

設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，\(O\)為原點。已知\(M\)可將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A’\)、\(B’\)，試選出正確的選項。
(1)\(M\)為可逆矩陣
(2)若\(M\)將點\(C\)映射至點\(C’\)且\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’\)
(3)\(\angle AOB=\angle A’OB’\)
(4)\(\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}\)
(5)\(\triangle OA’B’\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)

下列選項中，試選出與\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)相乘之後會得到實數的選項。(註：\(i=\sqrt{-1}\))
(1)\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)
(2)\(\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7}\)
(3)\(-\sin\frac{5\pi}{14}+i\cos\frac{5\pi}{14}\)
(4)\(\sin\frac{\pi}{7}+i\cos\frac{\pi}{7}\)
(5)\(\sin\frac{\pi}{7}-i\cos\frac{\pi}{7}\)

持續投擲一枚公正骰子，在過程中若出現連續兩次點數的和為7時，就停止投擲。例如：若前兩次投擲分別出現點數1、4，點數和不等於7，所以繼續投擲；若第三次投出點數3，因為第二次與第三次點數和為7，所以此時即停止投擲。關於此機率事件，試選出正確的選項。
(1)在第一次投擲的點數為6的情況下，總共投擲兩次就停的機率為\(\frac{1}{6}\)
(2)總共投擲兩次就停止的機率為\(\frac{1}{6}\)
(3)在第一次投擲的點數為5的情況下，總共投擲三次恰好停止的機率為\(\frac{1}{6}\)
(4)總共投擲三次恰好停止的機率大於\(\frac{1}{6}\)
(5)至少投擲三次才停止的機率為\(\frac{1}{2}\)

關於非常數的實係數多項式函數\(f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(f(c)=0\)
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，則對任意的\(c \in(1,2)\)，\(f(c) ≠0\)均成立
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，則存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)
(4)若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，則\(f(1)f(2)<0\)

設\(a,b,c\)為三實數，且\(a>b>c\)。已知\(2^{a},2^{b},2^{c}\)三數依序成等差數列。試選出正確的選項。
(1) \(a,b,c\)三數依序成等比數列
(2) \(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)三數依序成等差數列
(3) \(4^{a},4^{b},4^{c}\)三數依序成等差數列
(4) \(a\lt b + 1\)
(5) \(b \geq \frac{a + c}{2}\)

不透明箱內有4顆紅球，8顆藍球與13顆白球。隨機同時抽取2球（每顆球被抽到的機率相等），若抽出的兩球同色，可得獎金450元；若抽出的兩球異色，可得獎金75元。則隨機同時抽取2球的獎金期望值為￮ 9 ￮ 10 ￮ 11 元。

在坐標平面上，一圓心在\(y\)軸正向上的圓，與直線\(y = mx\)相切，其中\(m>0\)。若此圓圓心與\(x\)軸的距離和切點與\(x\)軸的距離之比值為5，則\(m=\frac{(12)}{(13)}\)（化成最簡分數）。