百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號1、2、…、9的牌卡十張，其中編號8 的牌卡有兩張，其他編號的牌卡均只有一張。從這十張牌隨機抽出四張，且抽出不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1) 此四位數大於6400
(2) 此四位數含有兩個數字8
例如：若抽出四張牌編號依序為5、8、2、8，則此四位數為5828，可獲得獎品。
依上述規則，共有
\(\boxed{11-1}\)
\(\boxed{11-2}\)
個抽出排成的四位數可獲得獎品。
設$a,b$為實數，並設$O$為坐標平面的原點。已知二次函數$f(x)=ax^2$的圖形與圓$\Omega:x²+y²−3y+b=0$皆通過點$P(1,\frac{1}{2})$ ，並令點$C$為$\Omega$的圓心。根據上述，試回答下列問題。
[12-14為題組]12. 試求向量CO與CP夾角的餘弦值。（非選擇題，2分）
將\(P(1, \frac{1}{2})\)代入\(f(x) = ax^2\)，得\(a = \frac{1}{2}\)。代入圓\(\Omega\)：\(1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} + b = 0\)，解得\(b = \frac{1}{4}\)。圓\(\Omega\)方程為\(x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2\)，圓心\(C(0, \frac{3}{2})\)。向量\(\overrightarrow{CO} = (0, -\frac{3}{2})\)，\(\overrightarrow{CP} = (1, -1)\)。餘弦值：\(\frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}| |\overrightarrow{CP}|} = \frac{0 \cdot 1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1)}{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：\(\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
[12-14為題組]
試證明$y=f(x)$圖形與$\Omega$在$P$點有共同的切線。（非選擇題，4分）
已知 \( y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 \)，求導得 \( f'(x) = x \)。
因此 \( y = f(x) \) 在點 \( P\left(1,\frac{1}{2}\right) \) 處的切線斜率：
\( m_1 = f'(1) = 1 \)。
又 \( P \) 在圓 \( \Omega \) 上，圓在 \( P \) 點的切線與半徑 \( \overrightarrow{CP} \) 垂直。
由 \( \overrightarrow{CP} \) 的斜率為 \( \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -1 \)，得圓在 \( P \) 點的切線斜率：
\( m_2 = 1 \)。
因 \( m_1 = m_2 \) 且切線均過 \( P \)，故 \( y = f(x) \) 與 \( \Omega \) 在 \( P \) 點有共同切線。
[12-14為題組]
試求$y=f(x)$圖形上方與$\Gamma$下半圓弧所圍區域的面積。（非選擇題，6分）
計算 \(f(x)\) 與圓的交點，利用積分求面積，得面積為 \(\frac{1}{6}\)。### 圓的方程與取弧
圓 \(\Omega: x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=2\)，取下半圓弧：
\[ y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2} \]
### 面積計算
所求面積：
\[
\begin{align*}
2\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2-x^2}\right)-\frac{1}{2}x^2\right]dx
&= 2\left(\frac{3}{2}-\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx\right) \\
&= 2\left(\frac{3}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{6}\right) \\
&= \frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}
\end{align*}
\]
（備註：\(\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx=\frac{1}{6}\)）答案為 \(\frac{1}{6}\)。
[15-17為題組]
坐標平面上，設\(\Gamma\)為中心在原點且長軸落在y軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉\(\theta\)角（其中\(0\lt\theta\lt\pi\)）的線性變換將\(\Gamma\)變換到新橢圓\(\Gamma’:40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180\)，點\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)為\(\Gamma’\)上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題：橢圓\(\Gamma’\)的長軸長為 。（化為最簡根式）
[15-17為題組]
試求$ \Gamma’$ 短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4 分）
(1) 由題意知，長軸方程式的斜率為 \(\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{-\frac{5}{3}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
所以短軸斜率 \(= \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)（長、短軸互相垂直）
故方程式為 \(y = \frac{\sqrt{5}}{2}x\)（過原點）。
求短軸長：
將\(y = \frac{\sqrt{5}}{2}x\)代入橢圓方程\(40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180\)：得兩交點即為短軸上頂點
計算兩點距離得到短軸長度4
[15-17為題組]
已知在\(\Gamma\)上的一點$P$經由此旋轉後得到的點\(P’\)落在$x$軸上，且\(P’\)點的$x$坐標大於$0$。試求$P$點的坐標。
已知\(\Gamma'\)上長軸端點\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)來自原橢圓\(\Gamma\)的上頂點\((0, \sqrt{5})\)（因\(\Gamma\)長軸在y軸，長軸長\(2\sqrt{5}\)）。旋轉矩陣\(R = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\)
$令y=0代入\Gamma'得x=\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\therefore \begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}},0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
利用反方陣求得$原座標P(x,y):x = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，\(y = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)。
答案：\(\boxed{\left(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)}\)
