坐標平面上以原點\(o\)為圓心的單位圓上三相異點\(A\)、\(B\)、\(C\)滿足\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，其中\(A\)點的坐標為\((1, 0)\)。試選出正確的選項。
(1)向量\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)的長度為4
(2)內積\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}<0\)
(3)\(\angle BOC\)，\(\angle AOC\)，\(\angle AOB\)中，以\(\angle BOC\)的度數為最小
(4)\(\overline{AB}>\frac{3}{2}\)
(5)\(3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC\)
指考分科數學-甲
108指考數學甲試題–A
在坐標平面上，定義一個坐標變換\([\begin{array}{l}y_{1}\\y_{2}\end{array}]=[\begin{array}{cc}1 & 0\\ -1 & 2\end{array}][\begin{array}{l}x_{1}\\x_{2}\end{array}]+[\begin{array}{l}-2\\3\end{array}]\)，其中\([\begin{array}{l}x_{1}\\x_{2}\end{array}]\)代表舊坐標，\([\begin{array}{l}y_{1}\\y_{2}\end{array}]\)代表新坐標。若舊坐標為\([\begin{array}{l}r\\s\end{array}]\)的點\(P\)經此坐標變換得到的新坐標為\([\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}]\)，則\((r, s)=\)(________,________)。
[選填題]
答案
由坐標變換公式可得\(\begin{cases}y_{1}=x_{1}-2\\y_{2}=-x_{1}+2x_{2}+3\end{cases}\)。
已知新坐標\(y_{1}=1\)，\(y_{2}=-2\)，代入可得\(\begin{cases}1=r - 2\\-2=-r + 2s+3\end{cases}\)。
由\(1=r - 2\)，解得\(r = 3\)。
將\(r = 3\)代入\(-2=-r + 2s+3\)，即\(-2=-3 + 2s+3\)，解得\(s=-1\)。
所以\((r, s)=(3,-1)\) ，即答案依次填\(3\)、\(-1\)（原題中第三個空無值，按正確答案只有兩個值）。
108指考數學甲試題–B
在坐標平面上，\(A(a, r)\)、\(B(b, s)\)為函數圖形\(y=\log _{2}x\)上之兩點，其中\(a\lt b\)。已知\(A\)、\(B\)連線的斜率等於2，且線段\(\overline{AB}\)的長度為\(\sqrt{5}\)，則\((a, b)=\)( _____， _____) （化成最簡分數）。
[選填題]
答案
已知\(A(a,\log _{2}a)\)，\(B(b,\log _{2}b)\)，根據斜率公式\(k=\frac{\log _{2}b-\log _{2}a}{b - a}=2\)，即\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)。
由距離公式\(\sqrt{(b - a)^{2}+(\log _{2}b-\log _{2}a)^{2}}=\sqrt{5}\)，把\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)代入得\(\sqrt{(b - a)^{2}+4(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)。
即\(\sqrt{5(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)，\((b - a)^{2}=1\)，又\(a\lt b\)，所以\(b - a = 1\)，即\(b=a + 1\)。
將\(b=a + 1\)代入\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)，得\(\log _{2}\frac{a + 1}{a}=2\)，即\(\frac{a + 1}{a}=4\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)。
所以\((a, b)=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})\) 。
108指考數學甲試題–C
設\(z\)為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為\(z\)、\(0\)、\(z + 5 – 2\sqrt{3}i\)（其中\(i=\sqrt{-1}\)），則\(z\)的實部為 （化成最簡分數）。
[選填題]108指考數學甲試題-非選擇一(1)
坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。試回答下列問題。
若\(\overrightarrow{OP}\)是長度為2的向量，且與\(\overrightarrow{OA}\)之夾角為\(60^{\circ}\)，試求向量\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{OP}\)的內積。(2分)
答案
根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（其中\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
已知\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 2\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2\)，\(\theta = 60^{\circ}\)。
所以\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OP}\vert\cos60^{\circ}=2\times2\times\frac{1}{2}=2\)。
108指考數學甲試題-非選擇一(2)
坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。試回答下列問題。
承(1)，已知滿足此條件的所有點\(P\)均落在一平面\(E\)上，試求平面\(E\)的方程式。(2分)
答案
108指考數學甲試題-非選擇一(3)
坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。試回答下列問題。
若\(\overrightarrow{OQ}\)是長度為2的向量，分別與\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)之夾角皆為\(60^{\circ}\)，已知滿足此條件的所有點\(Q\)均落在一直線\(L\)上，試求直線\(L\)的方向向量。(4分)
答案
設\(\overrightarrow{OQ}=(x,y,z)\)，\(\vert\overrightarrow{OQ}\vert = 2\)，則\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)。
由\(\overrightarrow{OQ}\)與\(\overrightarrow{OA}\)夾角為\(60^{\circ}\)，根據向量內積公式\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\vert\overrightarrow{OQ}\vert\vert\overrightarrow{OA}\vert\cos60^{\circ}\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert = 2\)，可得\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=x+\sqrt{2}y + z = 2\times2\times\frac{1}{2}=2\) ①。
由\(\overrightarrow{OQ}\)與\(\overrightarrow{OB}\)夾角為\(60^{\circ}\)，\(\vert\overrightarrow{OB}\vert = 2\)，可得\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OB}=2x=2\times2\times\frac{1}{2}=2\)，解得\(x = 1\)。
把\(x = 1\)代入①式得：\(1+\sqrt{2}y + z = 2\)，即\(z = 1-\sqrt{2}y\)。
將\(x = 1\)，\(z = 1-\sqrt{2}y\)代入\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)得：\(1 + y^{2}+(1-\sqrt{2}y)^{2}=4\)，
展開得：\(1 + y^{2}+1 - 2\sqrt{2}y + 2y^{2}=4\)，
整理得：\(3y^{2}-2\sqrt{2}y - 2 = 0\)，
分解因式得：\((\sqrt{3}y+\sqrt{2})(\sqrt{3}y-\sqrt{2}) = 0\)，
解得\(y_1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)，\(y_2=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)。
當\(y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)時，\(z = 1-\frac{2}{\sqrt{3}}\)；當\(y=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)時，\(z = 1+\frac{2}{\sqrt{3}}\)。
設直線\(L\)的方向向量為\(\overrightarrow{d}=(m,n,p)\)，取\(Q_1(1,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},1-\frac{2}{\sqrt{3}})\)，\(Q_2(1,-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},1+\frac{2}{\sqrt{3}})\)，
則\(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{Q_1Q_2}=(0,-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}})\)，化簡得\(\overrightarrow{d}=(0,-\sqrt{2},2)\)（方向向量不唯一，與之平行的向量均可）。
108指考數學甲試題-非選擇一(4)
坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。若\(\overrightarrow{OQ}\)是長度為2的向量，分別與\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)之夾角皆為\(60^{\circ}\)，已知滿足此條件的所有點\(Q\)均落在一直線\(L\)上。承(3)，試求出滿足條件的所有\(Q\)點之坐標。(4分)
[非選擇題]
答案
(4) 將 \( y = t \) 代入平面式 \( \begin{cases} x + z = 2 - \sqrt{2}t \\ x = 1 \end{cases} \)，
解得 \( x = 1 \)，\( z = 1 - \sqrt{2}t \)，故可設 \( Q \) 的坐標為 \( (1, t, 1 - \sqrt{2}t) \)。
因 \( |\overrightarrow{OQ}| = 2 \)，故：
\[
\sqrt{1^2 + t^2 + (1 - \sqrt{2}t)^2} = 2
\]
平方後化簡：
\[
1 + t^2 + 1 - 2\sqrt{2}t + 2t^2 = 4 \implies 3t^2 - 2\sqrt{2}t - 2 = 0
\]
因式分解得 \( (3t + \sqrt{2})(t - \sqrt{2}) = 0 \)，解得 \( t = -\frac{\sqrt{2}}{3} \) 或 \( t = \sqrt{2} \)。
因此 \( Q \) 的坐標為 \( \left(1, -\frac{\sqrt{2}}{3}, 1 + \frac{2}{3}\right) = \boxed{\left(1, -\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{5}{3}\right)} \)，
或 \( \boxed{(1, \sqrt{2}, 1 - 2)} = (1, \sqrt{2}, -1) \)。
108指考數學甲試題-非選擇二(1)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(1)\) 。(2分)
[非選擇題]
答案
108指考數學甲試題-非選擇二(2)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f'(x)\) 。(4分)
[非選擇題]
答案
對\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)兩邊求導。
根據乘積求導法則\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，左邊求導得\(f(x)+xf'(x)\)。
右邊求導，\((3x^{4}-2x^{3}+x^{2})^\prime=12x^{3}-6x^{2}+2x\) ，\((\int_{1}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。
所以\(f(x)+xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x + f(x)\)。
移項可得\(xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x\)，兩邊同時除以\(x\)（\(x\geq1\)），得到\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)。