設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(x)\) 。(2分)
[非選擇題]
答案
指考分科數學-甲
108指考數學甲試題-非選擇二(4)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。(4分)
[非選擇題]
答案
由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。
根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。
所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。
109指考數學甲(補考)試題-01
考慮兩個函數\(f(x)= \begin{cases}1 + x, & x \leq1 \\ 1, & x>1\end{cases}\)、\(g(x)= \begin{cases}1, & x \leq1 \\ 3 – x, & x>1\end{cases}\)。關於函數的極限，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
答案
首先求\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)：
\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x)=1 + 1 = 2\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在。
再求\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} g(x)=1\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(3 - x)=3 - 1 = 2\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在。
然後求\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x + 1)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(x + 2)=3\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(1 + 3 - x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(4 - x)=3\)，左右極限相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x)) = 3\)存在。
答案為(4)。
109指考數學甲(補考)試題-02
某質點在數線上移動，已知其位置坐標為\(s(t)=\int_{0}^{t}(-x^{2}+6x)dx\)，其中\(t\)表時間且\(0 \leq t \leq10\)。若此質點的速度在時段\(0 \leq t < a\)遞增，且在時段\(a < t \leq10\)遞減，試選出正確的\(a\)值。 (1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)7
[單選題]
答案
109指考數學甲(補考)試題-03
在坐標平面上，其\(x\)坐標與\(y\)坐標都是整數的點稱為「格子點」。試問滿足方程式\(\log _{2}(x – 1)=\log _{4}(25 – y^{2})\)的格子點\((x,y)\)共有幾個？
(1)4個
(2)5個
(3)6個
(4)8個
(5)12個
109指考數學甲(補考)試題-04
設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，\(O\)為原點。已知\(M\)可將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A’\)、\(B’\)，試選出正確的選項。
(1)\(M\)為可逆矩陣
(2)若\(M\)將點\(C\)映射至點\(C’\)且\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’\)
(3)\(\angle AOB=\angle A’OB’\)
(4)\(\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}\)
(5)\(\triangle OA’B’\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)
109指考數學甲(補考)試題-05
下列選項中，試選出與\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)相乘之後會得到實數的選項。(註：\(i=\sqrt{-1}\))
(1)\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)
(2)\(\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7}\)
(3)\(-\sin\frac{5\pi}{14}+i\cos\frac{5\pi}{14}\)
(4)\(\sin\frac{\pi}{7}+i\cos\frac{\pi}{7}\)
(5)\(\sin\frac{\pi}{7}-i\cos\frac{\pi}{7}\)
109指考數學甲(補考)試題-06
持續投擲一枚公正骰子，在過程中若出現連續兩次點數的和為7時，就停止投擲。例如：若前兩次投擲分別出現點數1、4，點數和不等於7，所以繼續投擲；若第三次投出點數3，因為第二次與第三次點數和為7，所以此時即停止投擲。關於此機率事件，試選出正確的選項。
(1)在第一次投擲的點數為6的情況下，總共投擲兩次就停的機率為\(\frac{1}{6}\)
(2)總共投擲兩次就停止的機率為\(\frac{1}{6}\)
(3)在第一次投擲的點數為5的情況下，總共投擲三次恰好停止的機率為\(\frac{1}{6}\)
(4)總共投擲三次恰好停止的機率大於\(\frac{1}{6}\)
(5)至少投擲三次才停止的機率為\(\frac{1}{2}\)
答案
(1)在第一次投擲點數為6的情況下，第二次投擲點數為1才能使兩次點數和為7停止投擲，而投擲一次骰子出現點數1的概率為\(\frac{1}{6}\)，所以在第一次投擲的點數為6的情況下，總共投擲兩次就停的機率為\(\frac{1}{6}\)，(1)正確。
(2)總共投擲兩次就停止，即第一次投擲任意點數，第二次投擲的點數與第一次之和為7。第一次投擲有6種可能，無論第一次投出什麼，第二次投出特定點數使和為7的概率都是\(\frac{1}{6}\)，所以總共投擲兩次就停止的概率為\(\frac{1}{6}\)，(2)正確。
(3)在第一次投擲點數為5的情況下，第二次投擲不能為2（否則兩次就停止），概率為\(\frac{5}{6}\)，第三次投擲必須為2，概率為\(\frac{1}{6}\)，所以總共投擲三次恰好停止的概率為\(\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{5}{36}<\frac{1}{6}\)，(3)錯誤。
(4)由(3)可知總共投擲三次恰好停止的概率為\(\frac{5}{36}<\frac{1}{6}\)，(4)錯誤。
(5)至少投擲三次才停止的概率 = 1 - （投擲一次停止的概率 + 投擲兩次停止的概率），投擲一次不可能停止，投擲兩次停止的概率為\(\frac{1}{6}\)，所以至少投擲三次才停止的概率為\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\neq\frac{1}{2}\)，(5)錯誤。答案為(1)(2)。
109指考數學甲(補考)試題-07
關於非常數的實係數多項式函數\(f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(f(c)=0\)
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，則對任意的\(c \in(1,2)\)，\(f(c) ≠0\)均成立
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，則存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)
(4)若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，則\(f(1)f(2)<0\)
109指考數學甲(補考)試題-08
設\(a,b,c\)為三實數，且\(a>b>c\)。已知\(2^{a},2^{b},2^{c}\)三數依序成等差數列。試選出正確的選項。
(1) \(a,b,c\)三數依序成等比數列
(2) \(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)三數依序成等差數列
(3) \(4^{a},4^{b},4^{c}\)三數依序成等差數列
(4) \(a\lt b + 1\)
(5) \(b \geq \frac{a + c}{2}\)