〈指考分科數學-甲〉彙整頁面 - 第 15 頁，總計 19 頁

112分科測驗數學甲考科試題-09

已知平面上直角 $\triangle ABC$ 的三邊長 $AB = \sqrt{7}$ 、 $AC = \sqrt{3}$ 、 $BC = 2$ 。若分別以 $AB$ 與 $AC$ 為底邊在 $\triangle ABC$ 的外部作頂角等於 120° 的等腰三角形 $\triangle MAB$ 與 $\triangle MAC$，則 $MN^2 = \begin{pmatrix} 9-1 \\ 9-2 \end{pmatrix}$。（化為最簡分數）

[選填]

答案

$令\angle A=\theta,\cos\angle MAN=\cos(60^{\circ}+\theta)\\
\cos(60^{\circ}+\theta)=\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta=\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\\
\Delta MAN中,\overline{MN}^2=1^2+(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}})^2-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{13}{3}$

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112分科測驗數學甲考科試題-10

坐標空間中有方向向量為 (1, -2, 2) 的直線 $L$ 、平面 $E_1: 2x + 3y + 6z = 10$ 與平面
$E_2: 2x + 3y + 6z = -4$ 。則 $L$ 被 $E_1$ 、 $E_2$ 所截線段的長度為 $\frac{~~~~~}{~~~~~}$。（化為最簡分數）

[選填]

答案

兩平面$E_1: 2x + 3y + 6z = 10$與$E_2: 2x + 3y + 6z = -4$平行，先求兩平面距離：$d = \frac{|10 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{14}{7} = 2$
直線方向向量$\vec{v} = (1, -2, 2)$，平面法向量$\vec{n} = (2, 3, 6)$。計算$\vec{v} \cdot \vec{n} = 8$，$|\vec{v}| = 3$，$|\vec{n}| = 7$，得$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|} = \frac{8}{21}$。
截得線段長度$L = \frac{d}{\sin\theta} = \frac{2}{\frac{8}{21}} = \frac{21}{4}$。最終答案：$\boxed{\dfrac{21}{4}}$

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112分科測驗數學甲考科試題-11

百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號1、2、…、9的牌卡十張，其中編號8 的牌卡有兩張，其他編號的牌卡均只有一張。從這十張牌隨機抽出四張，且抽出不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1) 此四位數大於6400
(2) 此四位數含有兩個數字8
例如：若抽出四張牌編號依序為5、8、2、8，則此四位數為5828，可獲得獎品。
依上述規則，共有
$\boxed{11-1}$
$\boxed{11-2}$
個抽出排成的四位數可獲得獎品。

[選填]

答案

$\begin{cases}恰有兩個8:C^4_2\times8\times7=336\\大於6400且最多只有一個8：\overset{64xx,65xx,67xx,68xx,69xx}{7\times6\times5}+\overset{7xxx,8xxx,9xxx}{8\times7\times6\times3}\end{cases}=1218$。答案為 $336+1218=1554$。

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112分科測驗數學甲考科試題-12

設$a,b$為實數，並設$O$為坐標平面的原點。已知二次函數$f(x)=ax^2$的圖形與圓$\Omega:x²+y²−3y+b=0$皆通過點$P(1,\frac{1}{2})$ ，並令點$C$為$\Omega$的圓心。根據上述，試回答下列問題。
[12-14為題組]12. 試求向量CO與CP夾角的餘弦值。（非選擇題，2分）

[非選擇]

答案

將$P(1, \frac{1}{2})$代入$f(x) = ax^2$，得$a = \frac{1}{2}$。代入圓$\Omega$：$1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} + b = 0$，解得$b = \frac{1}{4}$。圓$\Omega$方程為$x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2$，圓心$C(0, \frac{3}{2})$。向量$\overrightarrow{CO} = (0, -\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{CP} = (1, -1)$。餘弦值：$\frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}| |\overrightarrow{CP}|} = \frac{0 \cdot 1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1)}{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$答案：$\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

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112分科測驗數學甲考科試題-13

[12-14為題組]
試證明$y=f(x)$圖形與$\Omega$在$P$點有共同的切線。（非選擇題，4分）

[非選擇]

答案

已知 $ y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 $，求導得 $ f'(x) = x $。
因此 $ y = f(x) $ 在點 $ P\left(1,\frac{1}{2}\right) $ 處的切線斜率：
$ m_1 = f'(1) = 1 $。

又 $ P $ 在圓 $ \Omega $ 上，圓在 $ P $ 點的切線與半徑 $ \overrightarrow{CP} $ 垂直。
由 $ \overrightarrow{CP} $ 的斜率為 $ \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -1 $，得圓在 $ P $ 點的切線斜率：
$ m_2 = 1 $。

因 $ m_1 = m_2 $ 且切線均過 $ P $，故 $ y = f(x) $ 與 $ \Omega $ 在 $ P $ 點有共同切線。

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112分科測驗數學甲考科試題-14

[12-14為題組]
試求$y=f(x)$圖形上方與$\Gamma$下半圓弧所圍區域的面積。（非選擇題，6分）

[非選擇]

答案

計算 $f(x)$ 與圓的交點，利用積分求面積，得面積為 $\frac{1}{6}$。### 圓的方程與取弧
圓 $\Omega: x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=2$，取下半圓弧：
\[ y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2} \]
### 面積計算
所求面積：
\[
\begin{align*}
2\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2-x^2}\right)-\frac{1}{2}x^2\right]dx
&= 2\left(\frac{3}{2}-\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx\right) \\
&= 2\left(\frac{3}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{6}\right) \\
&= \frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}
\end{align*}
\]
（備註：$\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$，$\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx=\frac{1}{6}$）答案為 $\frac{1}{6}$。

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112分科測驗數學甲考科試題-15

[15-17為題組]
坐標平面上，設$\Gamma$為中心在原點且長軸落在y軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉$\theta$角（其中$0\lt\theta\lt\pi$）的線性變換將$\Gamma$變換到新橢圓$\Gamma’:40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$，點$\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$為$\Gamma’$上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題：橢圓$\Gamma’$的長軸長為。（化為最簡根式）

[非選擇]

答案

已知點$\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$到原點距離平方為$\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 5$，故長軸長為$2\sqrt{5}$。答案：$\boxed{2\sqrt{5}}$

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112分科測驗數學甲考科試題-16

[15-17為題組]
試求$ \Gamma’$ 短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4 分）

[非選擇]

答案

(1) 由題意知，長軸方程式的斜率為 $\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{-\frac{5}{3}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$
所以短軸斜率 $= \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$（長、短軸互相垂直）
故方程式為 $y = \frac{\sqrt{5}}{2}x$（過原點）。
求短軸長：
將$y = \frac{\sqrt{5}}{2}x$代入橢圓方程$40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180$：得兩交點即為短軸上頂點
計算兩點距離得到短軸長度4

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112分科測驗數學甲考科試題-17

[15-17為題組]
已知在$\Gamma$上的一點$P$經由此旋轉後得到的點$P’$落在$x$軸上，且$P’$點的$x$坐標大於$0$。試求$P$點的坐標。

[非選擇]

答案

已知$\Gamma'$上長軸端點$\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$來自原橢圓$\Gamma$的上頂點$(0, \sqrt{5})$（因$\Gamma$長軸在y軸，長軸長$2\sqrt{5}$）。旋轉矩陣$R = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
$令y=0代入\Gamma'得x=\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\therefore \begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}},0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
利用反方陣求得$原座標P(x,y):x = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，$y = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
答案：$\boxed{\left(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)}$

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111分科數學甲試題-01

設$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$是首項為10、公比是10的等比數列。令$b = \sum\limits_{n = 1}^{3}\log_{a_{n}}a_{n + 1}$ ，試選出$b$的範圍。
(1)$2 < b\leqslant3$
(2)$3 < b\leqslant4$
(3)$4 < b\leqslant5$
(4)$5 < b\leqslant6$
(5)$6 < b\leqslant7$

[單選]

答案

由等比數列通項公式$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$（此處$a_{1}=10$，$q = 10$）可得$a_{n}=10^{n}$。
則$b=\log_{a_{1}}a_{2}+\log_{a_{2}}a_{3}+\log_{a_{3}}a_{4}=\log_{10}10^{2}+\log_{10^{2}}10^{3}+\log_{10^{3}}10^{4}$。
根據換底公式$\log_{m}n=\frac{\log_{k}n}{\log_{k}m}$，可化簡為$b = 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{12 + 9 + 8}{6}=\frac{29}{6}\approx4.83$ ，所以$4 < b\leqslant5$ ，答案為(3)。

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