空間中一正立方體 \(ABCD-EFGH\)，其中頂點 \(A、B、C、D\) 在同一平面上，且 \(\overline{AE}\) 為其中一個邊，如圖所示。下列選項中，試選出與平面 \(BGH\) 以及平面 \(CFE\) 皆垂直的平面？
(1)平面 \(ADH\)
(2)平面 \(BCD\)
(3)平面 \(CDG\)
(4)平面 \(DFG\)
(5)平面 \(DFH\)
答案
指考分科數學-甲
114分科測驗數學甲試卷-03
《幾何原本》云：「給定相異兩點可決定一條直線」。相異三點共線僅決定1條直線。坐標平面上，圓 \(\Gamma_1: x^2+y^2=4\) 與兩坐標軸交於4點、圓 \(\Gamma_2: x^2+y^2=2\) 與直線 \(x-y=0\) 交於2點、與直線 \(x+y=0\) 交於2點。試問這8點共可決定幾條不同的直線？
(1) 12
(2) 16
(3) 20
(4) 24
(5) 28
答案
114分科測驗數學甲試卷-04
試從下列坐標平面上的二次曲線中，選出與所有的鉛直線都相交的選項？
(1) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
(2) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
(3) \(-\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
(4) \(y=\frac{4}{9}x^2\)
(5) \(x=\frac{4}{9}y^2\)
答案
1. 鉛直線為 \(x=a\)（\(a\) 為任意實數），代入曲線方程看是否有解；
2. (1)橢圓：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(1-\frac{a^2}{9})\)，\(|a|>3\) 時無解，不選；
3. (2)雙曲線：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(\frac{a^2}{9}-1)\)，\(|a|<3\) 時無解，不選；
4. (3)雙曲線：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(\frac{a^2}{9}+1)\)，恆有解，選；
5. (4)拋物線：\(x=a\) 代入得 \(y=\frac{4}{9}a^2\)，恆有解，選；
6. (5)拋物線：\(x=a\) 代入得 \(y^=\frac{9a}{4}\)，\(a<0\) 時無解，不選。答案：(3)(4)
114分科測驗數學甲試卷-05
有一實數數列 \(\lt a_n\gt\)，其中 \(a_n=\cos(n\pi-\frac{\pi}{6})\)，\(n\) 為正整數。試選出正確的選項？
(1) \(a_1=-\frac{1}{2}\)
(2) \(a_2=a_3\)
(3) \(a_4=a_{24}\)
(4) \(\lt a_n\gt \) 為收斂數列，且 \(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\lt1\)
(5) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n)^n=3-2\sqrt{3}\)
答案
1. 化簡 \(a_n=(-1)^n\cos\frac{\pi}{6}=(-1)^n\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)；
2. (1) \(a_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}\neq-\frac{1}{2}\)，錯；
3. (2) \(a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，不相等，錯；
4. (3) \(a_4=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a_{24}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，相等，對；
5. (4) 數列交替取 \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)，不收斂，錯；
6. (5) 級數和 = \( \frac{-\sqrt{3}/2}{1 + \sqrt{3}/2} = 3 - 2\sqrt{3} \)。答案：(3)(5)
114分科測驗數學甲試卷-06
設指數函數 \(f(x)=1.2^x\)。試選出正確的選項？
(1) \(f(0)\gt0\)
(2) \(f(10)\gt10\)
(3) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 的圖形與直線 \(y=x\) 相交
(4) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 與 \(y=\log(1.2^x)\) 的圖形對稱於直線 \(y=x\)
(5) 對任意正實數 \(b,\log_{1.2}b \neq1.2^b\)
答案
114分科測驗數學甲試卷-07
已知實係數多項式 \(f(x)\) 的次數大於5，且其最高次項係數為正。又 \(f(x)\) 在 \(x=1、2、4\) 處有極小值，且在 \(x=3、5\) 處有極大值。根據上述，試選出正確的選項？
(1) \(f(1)\lt f(3)\)
(2) 存在實數 \(a,b\) 满足 \(1\lt a\lt b\lt 2\)，使得 \(f'(a)\gt 0\) 且 \(f'(b)\lt 0\)
(3) \(f”(3)\gt 0\)
(4) 存在實數 \(c\gt 5\)，使得 \(f'(c)\gt 0\)
(5) \(f(x)\) 的次數大於7
答案
1. (1) 極小值與極大值無必然大小關係，錯；
2. (2) \(x=1、2\) 是極小值，故 \(f'(x)\) 在 \(1\) 右側正、\(2\) 左側負，存在 \(a,b\) 使 \(f'(a)>0\) 且 \(f'(b)<0\)，對；
3. (3) \(x=3\) 是極大值，故 \(f''(3)<0\)，錯；
4. (4) 最高次項係數正，次數大於5（奇數），\(x\to+\infty\) 時 \(f'(x)\to+\infty\)，故存在 \(c>5\) 使 \(f'(c)>0\)，對；
5. (5) ✓：\( f'(x)=0 \) 至少有 7 個實根 ⇒ \( \deg f(x) \geq 8 \)：(2)(4)(5)
114分科測驗數學甲試卷-08
設複數 \(z\) 的虛部不為0且 \(|z|=2\)。已知在複數平面上，\(1、z、z^3\) 共線。試選出正確的選項？
(1) \(z\cdot\overline{z}=2\)
(2) \(\frac{z^3-z}{z-1}\) 的虛部為0
(3) \(z\) 的實部為 \(-\frac{1}{2}\)
(4) \(z\) 满足 \(z^2-z+4=0\)
(5) 在複數平面上，\(-2、z、z^2\) 共線
答案
114分科測驗數學甲試卷-09
令 \(A\) 為以原點為中心逆時針旋轉 \(\theta\) 角的旋轉矩陣，且令 \(B\) 為以 \(x\) 軸為鏡射軸（對稱軸）的鏡射矩陣。令 \(A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\)、\(BA=\begin{bmatrix}c_1&c_2\\c_3&c_4\end{bmatrix}\)。已知 \(a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)\)，則 \(tan\theta=\)__________（化為最簡分數）。
[選填題]
答案
\( A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)
\( BA = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ -\sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \)
左式：\( a_1+a_2+a_3+a_4 = 2\cos\theta \)
右式：\( 2(c_1+c_2+c_3+c_4) = 2(\cos\theta - \sin\theta - \sin\theta - \cos\theta) = -4\sin\theta \)
得 \( 2\cos\theta = -4\sin\theta \Rightarrow \tan\theta = -\frac{1}{2} \)
114分科測驗數學甲試卷-10
坐標空間中一平面與平面 \(x=0\)、平面 \(z=0\) 分別交於直線 \(L_1、L_2\)。已知 \(L_1、L_2\) 互相平行，且 \(L_1\) 通過點 \((0,2,-11)\)、\(L_2\) 通過點 \((8,21,0)\)，則 \(L_1、L_2\) 的距離為__________（化為最簡根式）。
[選填題]
答案
1. 設 \(L_1\) 方向向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}=(0,m,n)\)，\(L_2\) 方向向量同 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\)；
2. 取兩直線上點 \(P(0,2,-11)\)、\(Q(8,21,0)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{PQ}=(8,19,11)\)；
3. 距離 \(d=\frac{|\overset{\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\rightharpoonup}{v}|}{|\overset{\rightharpoonup}{v}|}\)，由平行得方向向量 \((0,1,k)\)，計算得 \(d=\sqrt{8^2+(19)^2+(11)^2 - (\frac{19+11k}{\sqrt{1+k^2}})^2}\)，解得 \(d=\sqrt{185}\)。答案：\(\sqrt{185}\)
114分科測驗數學甲試卷-11
坐標平面上有一平行四邊形 \( \Gamma \)，其中兩邊所在的直線與 \( 5x-y=0 \) 平行，另兩邊所在的直線與 \( 3x-2y=0 \) 垂直。令 \( \Gamma \) 的兩對角線交點為 \( Q \)。已知 \( \Gamma \) 有一頂點 \( P \)，滿足 \( \overrightarrow{PQ} = (10,-1) \)，則 \( \Gamma \) 的面積為為__________。
[選填題]
答案
204
設兩鄰邊向量：
\( \vec{u} \parallel 5x-y=0 \Rightarrow \vec{u} = b(1,5) \)
\( \vec{v} \perp 3x-2y=0 \Rightarrow \vec{v} = a(3,-2) \)
對角線向量和：\( \vec{u} + \vec{v} = 2\overrightarrow{PQ} = (20,-2) \)
解 \( (3a+b, -2a+5b) = (20,-2) \) 得 \( a=6, b=2 \)
面積 =\( |\begin{vmatrix}2&10 \\ 18&-12 \end{vmatrix}| = |2 \cdot (-12) - 10 \cdot 18| = |-24 - 180| = 204 \)