指考分科數學-甲

(1) 向量\(\overrightarrow{OP}=(2,2,1)\)，若\(\vec{v}=(1,-1,0)\)是平面\(E\)的法向量，則\(\overrightarrow{OP}\cdot\vec{v}=2\times1 + 2\times(-1)+1\times0 = 0\)，但\(2 - 2+0 = 0\)不成立，所以\(\vec{v}=(1,-1,0)\)不是平面\(E\)的法向量，(1)錯誤。
(2) 點\((4,4,2)=2(2,2,1)\)，\(P(2,2,1)\)是平面\(E\)上距離原點最近的點，所以\(P\)也是平面\(E\)上距離點\((4,4,2)\)最近的點，(2)正確。
(3) 設平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z + d = 0\)，把\(P(2,2,1)\)代入得\(4 + 4 + 1 + d = 0\)，\(d=-9\)，平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z - 9 = 0\)，把\((0,0,9)\)代入方程，\(0 + 0 + 9 - 9 = 0\)，所以點\((0,0,9)\)在平面\(E\)上，(3)正確。
(4) 點\((2,2,-8)\)到平面\(E\)：\(2x + 2y+z - 9 = 0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2-8 - 9\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{9}{3}=3\neq9\)，(4)錯誤。
(5) 通過原點\((0,0,0)\)和點\((2,2,-8)\)的直線方程為\(\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-8}\)，設直線上一點\((2t,2t,-8t)\)，代入平面\(E\)的方程\(2(2t)+2(2t)-8t - 9 = 0\)，\(4t + 4t - 8t - 9 = 0\)，\(-9 = 0\)不成立，所以直線與平面\(E\)不相交，(5)錯誤。
答案為(2)(3)。

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設\(M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，由\(M\begin{bmatrix}3\\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\)，\(M\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\)可得：
\(\begin{cases}3a-2b = 3\\3c-2d = 2\\3a + 2b=-3\\3c + 2d = 2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a = 0\\b =-\frac{3}{2}\\c=\frac{2}{3}\\d = 0\end{cases}\)，所以\(M=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\)。
(1) \(M\)不是鏡射變換，(1)錯誤。
(2) \(M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& - 3\\ 2&2\end{bmatrix}\)，(2)正確。
(3) \(M\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}\)，\(M\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\ - 2\end{bmatrix}\)，所以\(M\)將\(C\)映射到\(D\)且將\(D\)映射到\(A\)，(3)正確。
(4) \(M\)的行列式值\(\vert M\vert=0\times0-(-\frac{3}{2})\times\frac{2}{3}=1\neq - 1\)，(4)錯誤。
(5) \(M^{2}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)，\(M^{3}=M^{2}\cdot M=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=-M\)，(5)正確。
答案為(2)(3)(5)。

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設第 \( n \) 秒時 \( A、B \) 的位置為 \( A_n、B_n \)，定義 \( c_n = \frac{A_n + B_n}{2} \)，分析如下：
#### 初始值與前幾項
- 第1秒：\( A_1=1 \)，\( B_1=4 \)，故 \( c_1 = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} \)；
- 第2秒：\( A_2=\frac{3}{2} \)，\( B_2=\frac{8}{3} \)，故 \( c_2 = \frac{25}{12} \)；
- 第3秒：\( A_3=\frac{7}{4} \)，\( B_3=\frac{20}{9} \)，故 \( c_3 = \frac{143}{72} \)。

#### 選項分析
1. \( ○ \)：\( c_1 = \frac{5}{2} \)，正確；
2. \( × \)：計算差值 \( c_2 - c_1 = -\frac{5}{12} \)、\( c_3 - c_2 = -\frac{7}{72} \)，不滿足遞減，故 \( c_2 < c_1 \) 不成立； 3. \( × \)：差值序列 \( \{c_{n+1}-c_n\} \) 無等比關係，故不是等比數列； 4. \( ○ \)： - \( A_n \) 是首項1、公比\( \frac{1}{2} \)的等比數列和：\( A_n = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \)； - \( B_n \) 是首項4、公比\( \frac{1}{3} \)的等比數列和：\( B_n = 2\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \)； - 故 \( c_n = \frac{1}{2}(A_n + B_n) \)，且 \( \lim_{n \to \infty} c_n = \frac{1}{2}(2+2)=2 \)，正確； 5. \( × \)：由4知 \( \lim_{n \to \infty} c_n = 2 \)，故 \( c_{1000} < 2 \) 不成立。 故選 \( \boxed{1、4} \)。

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設事件 \( A \)：前2次投擲至少出現1次正面；
事件 \( B \)：8次投擲恰好出現3次正面。

#### 計算 \( P(A) \)
前2次至少1次正面的概率：
\[
P(A) = \binom{2}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \binom{2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]

#### 計算 \( P(A \cap B) \)
\( A \cap B \) 表示「前2次至少1次正面，且8次共3次正面」，分兩種情況：
1. 前2次1正1反，後6次2正4反：\( \binom{2}{1}\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{30}{256} \)；
2. 前2次2正，後6次1正5反：\( \binom{2}{2}\binom{6}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{6}{256} \)。

故：
\[
P(A \cap B) = \frac{30 + 6}{256} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}
\]

#### 計算條件機率 \( P(B|A) \)
由條件機率公式：
\[
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{9}{64}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{16}
\]

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先求\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}=\begin{vmatrix}\overset{\rightharpoonup}{i}&\overset{\rightharpoonup}{j}&\overset{\rightharpoonup}{k}\\1&2&3\\1&0&-1\end{vmatrix}=\overset{\rightharpoonup}{i}(-2 - 0)-\overset{\rightharpoonup}{j}(-1 - 3)+\overset{\rightharpoonup}{k}(0 - 2)=(-2,4,-2)\)。
因為\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)與\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}\)平行，所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=k(-2,4,-2)=(-2k,4k,-2k)\)。
又\(\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=1\times(0 + y)-2\times(z + x)+3\times(y - 0)=4y-2x - 2z=-12\)，把\(x=-2k\)，\(y = 4k\)，\(z=-2k\)代入得\(4\times4k-2\times(-2k)-2\times(-2k)=-12\)，即\(16k + 4k + 4k=-12\)，\(24k=-12\)，解得\(k = -\frac{1}{2}\)。
所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=(1,-2,1)\)。
答案依次為\(1\)、\(-2\)、\(1\)。

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設\(z = a + bi\)，\(\overline{z}=a - bi\)，由\(z-\overline{z}=-3i\)可得\((a + bi)-(a - bi)=-3i\)，即\(2bi=-3i\)，解得\(b = -\frac{3}{2}\)，所以\(z=a-\frac{3}{2}i\)。
\(\vert\sqrt{7}+8i - z\vert=\vert\sqrt{7}+8i-(a-\frac{3}{2}i)\vert=\vert(\sqrt{7}-a)+(\frac{19}{2}i)\vert=\sqrt{(\sqrt{7}-a)^{2}+(\frac{19}{2})^{2}}\)，它表示複平面上點\(Z(a,-\frac{3}{2})\)到點\(A(\sqrt{7},8)\)的距離。
點\(A(\sqrt{7},8)\)到直線\(y = -\frac{3}{2}\)的距離就是\(\vert\sqrt{7}+8i - z\vert\)的最小值，即\(8-(-\frac{3}{2})=\frac{16 + 3}{2}=\frac{19}{2}\)。
答案為\(\frac{19}{2}\)。

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計算三次試驗（1的機率\(\frac{1}{4}\)、0的機率\(\frac{3}{4}\)）的期望值，考慮排列：

1. **三次都是1（僅1種排列）**：
\[
\left(\frac{1}{4}\right)^3 \times 3 = \frac{3}{64}
\]

2. **2個1、1個0（共\(\binom{3}{2}=3\)種排列）**：
每種排列的機率為\(\left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4}\)，每種對應總和2，故貢獻：
\[
3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4} \times 2 = 3 \times \frac{3}{64} \times 2 = \frac{18}{64}
\]

3. **1個1、2個0（共\(\binom{3}{1}=3\)種排列）**：
每種排列的機率為\(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2\)，每種對應總和1，故貢獻：
\[
3 \times \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times 1 = 3 \times \frac{9}{64} \times 1 = \frac{27}{64}
\]

4. **三次都是0（僅1種排列）**：
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times 0 = 0
\]
期望值：
\[
\frac{3 + 18 + 27 + 36}{64} = \frac{84}{64} = \frac{21}{16}
\]

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因此：
\[
\overline{BD} = \frac{3}{2},\ \overline{CD} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \implies \overline{BD} : \overline{CD} = 3:5
\]

由分點公式，\( \overrightarrow{AD} = \frac{5}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC} \)，故 \( \alpha = \frac{5}{8} \)，\( \beta = \frac{3}{8} \)。

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因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。

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