109指考數甲

已知 $45^\circ \lt \theta \lt 50^\circ$，且設 $a = 1 – \cos\theta$、$b = \dfrac{1 – \cos\theta}{\cos\theta}$、$c = \dfrac{\tan\theta}{\tan\theta + 1}$。關於 $a$、$b$、$c$ 三個數值的大小，試選出正確的選項。
(1) $a \lt b \lt c$
(2) $a \lt c \lt b$
(3) $b \lt a \lt c$
(4) $b \lt c \lt a$
(5) $c \lt a \lt b$

有 A、B 兩個箱子，其中 A 箱有 6 顆白球與 4 顆紅球，B 箱有 8 顆白球與 2 顆藍球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）：
（一）先在 A 箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從 B 箱中抽取一球；
（二）先在 B 箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從 A 箱中抽取一球；
（三）同時分別在 A、B 箱中各抽取一球。
給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得 50 元獎金；若只抽到藍球得 100 元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得 100 元獎金；若都沒抽到，則無獎金。
將上列（一）、（二）、（三）這 3 種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為 $E_1$、$E_2$、$E_3$，試選出正確的選項。
(1) $E_1 \gt E_2 \gt E_3$
(2) $E_1 = E_2 \gt E_3$
(3) $E_2 = E_3 \gt E_1$
(4) $E_1 = E_3 \gt E_2$
(5) $E_3 \gt E_2 \gt E_1$

根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量平均每 3.5 小時會擴增為 2.4 倍。假設實驗室的試管一開始有此種細菌 1000 隻，根據指數函數模型，試問大約在多少小時後此種細菌的數量會到達 $4 \times 10^{10}$ 隻左右？（註：$\log2 \approx 0.3010$，$\log3 \approx 0.4771$）
(1) 63 小時
(2) 70 小時
(3) 77 小時
(4) 84 小時
(5) 91 小時

在坐標平面上，設 $O$ 為原點，且 $A$、$B$ 為異於 $O$ 的相異兩點。令 $C_1$、$C_2$、$C_3$ 為平面上三個點，且滿足 $\vec{OC_n} = \vec{OA} + n\vec{OB}$，$n = 1, 2, 3$，試選出正確的選項。
(1) $\vec{OC_1} \ne \vec{0}$
(2) $ \vec{OC_1} \lt \vec{OC_2} \lt \vec{OC_3} $
(3) $\vec{OC_1}\cdot\vec{OA} \lt \vec{OC_2}\cdot\vec{OA} \lt \vec{OC_3}\cdot\vec{OA}$
(4) $\vec{OC_1}\cdot\vec{OB} \lt \vec{OC_2}\cdot\vec{OB} \lt \vec{OC_3}\cdot\vec{OB}$
(5) $C_1$、$C_2$、$C_3$ 在同一直線上

對一實數 $a$，以 $[a]$ 表示不大於 $a$ 的最大整數，例如：$[1.2] = 1$，$[-1.2] = -2$。考慮無理數 $\theta = \sqrt{10001}$，試選出正確的選項。
(1) $a – 1 \lt [a] \le a$
(2) 數列 $b_n = \dfrac{[\theta n]}{n}$ 發散，$n$ 為正整數
(3) 數列 $c_n = \dfrac{[-\theta n]}{n}$ 發散，$n$ 為正整數
(4) 數列 $d_n = \left[\dfrac{\theta}{n}\right]$ 發散，$n$ 為正整數
(5) 數列 $e_n = \left[\dfrac{-\theta}{n}\right]$ 發散，$n$ 為正整數

設 $F(x)$、$f(x)$ 皆為實係數多項式函數。已知 $F'(x) = f(x)$，試選出正確的選項。
(1) 若 $a \ge 0$，則 $F(a) – F(0) = \int_0^a f(t)\,dt$
(2) 若 $F(x)$ 除以 $x$ 的商式為 $Q(x)$，則 $Q(0) = f(0)$
(3) 若 $f(x)$ 可被 $x + 1$ 整除，則 $F(x)$ 可被 $(x + 1)^2$ 整除
(4) 若對所有實數 $x$，$x^2 \ge F(x)$ 都成立，則對所有實數 $x$，$f(x) \ge x$ 也都成立
(5) 若對所有 $x \gt 0$，$f(x) \ge x$ 都成立，則對所有 $x \gt 0$，$x^2 \ge F(x)$ 也都成立

在複數平面上，設 $O$ 為原點，且 $A$、$B$ 分別表示坐標為複數 $z$、$z + 1$ 的點。已知點 $A$、點 $B$ 都在以 $O$ 為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。
(1) 直線 $AB$ 與實數軸平行
(2) $\triangle OAB$ 為直角三角形
(3) 點 $A$ 在第二象限
(4) $z^3 = 1$
(5) 坐標為 $\dfrac{1}{1 + z}$ 的點也在同一單位圓上

設二階實係數方陣 $A$ 代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足 $A^3 = \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$；另設二階實係數方陣 $B$ 代表坐標平面的一個（以原點為中心的）旋轉變換且滿足 $B^3 = \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
(1) $A$ 恰有三種可能
(2) $B$ 恰有三種可能
(3) $AB = BA$
(4) 二階方陣 $AB$ 代表坐標平面的一個旋轉變換
(5) $BABA = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$

在坐標空間中，設 $O$ 為原點，且點 $P$ 為三平面 $x – y – z = 0$、$x – 3y + 2z = 0$、$x + y = t$ 的交點，其中 $t \gt 0$。若 $ \vec{OP} = 10$，則 $t =$ 【　　】。（化成最簡根式）

考慮坐標平面上相異三點 $A$、$B$、$C$，其中點 $A$ 為 $(1,1)$。分別以線段 $AB$、$AC$ 為直徑作圓，此兩圓交於點 $A$ 及點 $P$。已知 $\vec{PB} = (4, -2)$ 且點 $B$ 在第四象限，則點 $B$ 的坐標為 $(\underline{\quad},\underline{\quad})$。