109指考數甲

有一個三角形公園，其三頂點為 $O$、$A$、$B$，在頂點 $O$ 處有一座 150 公尺高的觀景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點 $A$、$B$ 與 $AB$ 的中點 $C$，測得其俯角分別為 $30^\circ$、$60^\circ$、$45^\circ$。則此三角形公園的面積為 【　　】 平方公尺。（化成最簡根式）

坐標平面上，由 $A$、$B$、$C$、$D$ 四點所決定的「貝茲曲線」（Bézier curve）指的是次數不超過 3 的多項式函數，其圖形通過 $A$、$D$ 兩點，且在點 $A$ 的切線通過點 $B$，在點 $D$ 的切線通過點 $C$。令 $y = f(x)$ 是由 $A(0,0)$、$B(1,4)$、$C(3,2)$、$D(4,0)$ 四點所決定的「貝茲曲線」，試回答下列問題。
設 $y = f(x)$ 的圖形在點 $D$ 的切線方程式為 $y = ax + b$，其中 $a$、$b$ 為實數。求 $a$、$b$ 之值。（2分）

[題組:一(1)到一(4)] 試求 $f(x)$。（4分）

[題組:一(1)到一(4)] 求定積分 $\int_2^6 f(x)\,dx$ 之值。（4分）

[題組:二(1)到二(4)] 試求向量 $\vec{AR}$（以 $t$ 的式子來表示）。（2分）

[題組:二(1)到二(4)] 試證明四角錐 $G\text{-}AQPR$ 的體積是一個定值（與 $t$ 無關），並求此定值。（4分）

[題組:二(1)到二(4)] 當 $t = \dfrac{1}{4}$ 時，求點 $G$ 到平行四邊形 $AQPR$ 所在平面的距離。（4分）