坐標平面上,橢圓 \( \Gamma \) 的方程式為 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{6^2}=1$ （其中 \( a \) 為正實數）。若將 \( \Gamma \) 以原點 \( O \) 為中心,沿 \( x \) 軸方向伸縮為 2 倍、沿 \( y \) 軸方向伸縮為 3 倍 後,所得到 的新 圖形會通過點 \((18,0)\) 。試 問 下 列 哪 一 個 選 項 是 \( \Gamma \) 的焦點？
(1) \((0,3 )\)
(2) \((\sqrt{3},0)\)
(3) \((3\sqrt{3},0)\)
(4) \((6,0)\)
(5) \((9,0)\)
坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 三 次 函 數 \( f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4\) 的 函 數 圖 形。試問下列何者為 \( f (x) \) 的導函數？
(1) \(x^{2}-9x + 15\)
(2) \(3x^{3}-18x^{2}+15x – 4\)
(3) \(3x^{3}-18x^{2}+15x\)
(4) \(3x^{2}-18x + 15\)
(5) \(x^{2}-18x + 15\)
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。
令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。
若 坐 標 空 間 中 第 四 個 平 面 \( E_{4}\) 與 \( E_{1}\) 、 \( E_{2}\) 、 \( E_{3}\) 圍 出 一 個 邊 長 為 \( 6\sqrt{2}\) 的 正 四 面 體,試求 出 \( E_{4}\) 的方程式（寫 成 \( x + ay + bz = c\) 的形式）。
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。 令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。試 說 明 \( L_{1}\) 、 \( L_{2}\) 、 \( L_{3}\) 中,任兩直線 所 夾的 銳 角皆為 \( 60^{\circ}\) 。
[非選擇]先求各直線方向向量,平面 \(E_{1}\) 法向量 \(\vec{n}_{1}=(1,1,1)\),\(E_{2}\) 法向量 \(\vec{n}_{2}=(1,- 1,1)\),\(E_{3}\) 法向量 \(\vec{n}_{3}=(1,- 1,- 1)\) 。 \(L_{1}\) 方向向量 \(\vec{v}_{1}=\vec{n}_{2}\times\vec{n}_{3}=(2,2,0)\),\(L_{2}\) 方向向量 \(\vec{v}_{2}=\vec{n}_{3}\times\vec{n}_{1}=(0,2,2)\),\(L_{3}\) 方向向量 \(\vec{v}_{3}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=(2,0,- 2)\) 。任取兩個方向向量,如 \(\vec{v}_{1}\) 與 \(\vec{v}_{2}\),\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}\vert}{\vert\vec{v}_{1}\vert\vert\vec{v}_{2}\vert}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\),所以夾角為 \(60^{\circ}\),同理可證其他兩兩夾角也為 \(60^{\circ}\)。
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。 令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{2}\) 。已知 三 直 線 \( L_{1}\) 、\(L_{2}\) 、\(L_{3}\) 有 共 同 交 點,試求 此 共 同 交 點 \( P \) 的 坐 標。
[非選擇]聯立 \(\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}\),兩式相減得 \(2y = 4\),\(y = 2\)。再聯立 \(\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}\),兩式相加得 \(2(x - y)= - 2\),把 \(y = 2\) 代入得 \(x = 1\),再把 \(x = 1\),\(y = 2\) 代入 \(x + y + z = 7\) 得 \(z = 4\),所以交點 \(P\) 的坐標為 \((1,2,4)\)。
設 實數 \( a_{1},a_{2},\cdots,a_{9} \) 是 公差為 \( 2 \) 的 等 差 數列 ,其中 \( a_{1}\neq0\) 且 \( a_{3}>0\)。若 \(\log_{2}a_{3},\log_{2}b,\log_{2}a_{9}\) 三數依序也成等差數列 ,其中 \( b \) 為 \( a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8} \) 其中一數,則 \(a_9 =\)__________ 。
[選填]已知\(\{a_n\}\)是公差\(d = 2\)的等差數列，則\(a_n = a_1 + 2(n - 1)\)。由\(\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9\)成等差數列，得\(2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9\)，即\(b^2 = a_3 a_9\)。計算\(a_3 = a_1 + 4\)，\(a_9 = a_1 + 16\)，代入\(b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)。因b為\(a_4, a_5, a_6, a_7, a_8\)之一，逐一驗證：若\(b = a_4 = a_1 + 6\)，則\((a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)，展開得：\(a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}\)
此時\(a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0\)，符合條件。因此，\(a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{25}{2}}\)
坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 以 原 點 為 圓 心 的 圓,\( P \) 為 \( \Gamma \) 與 \( x \) 軸的 其中一 個 交 點。 已 知 通過 \( P \) 點且斜率為 \(\frac{1}{2}\) 的 直線交 \( \Gamma \) 於另 一 點 \( Q\),且 \( PQ = 1\),則 \( \Gamma \) 的半徑 為__________ 。
[選填]設\(a, b, c, d\)為實數。已知兩聯立方程組\(\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}\)、\(\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}\)的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到\(\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}\)、\(\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}\)。求聯立方程組\(\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}\)的解，即\(x = \_\_\_\)，\(y = \_\_\_\)。
[選填]通過分析前兩個方程組的解，反推原係數：對第一個方程組，變換後解為\(x = 5\)，\(y = 2\)，代入\(\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}\)；對第二個方程組，變換後解為\(x = 1\)，\(y = -1\)，代入\(\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}\)。解得\(a = 0\)，\(b = 1\)，\(c = -\frac{1}{7}\)，\(d = \frac{6}{7}\)。代入所求方程組\(\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}\)，即\(\begin{cases}y = 0 \\ -\frac{1}{7}x + \frac{6}{7}y = 1\end{cases}\)，解得\(x = -7\)，\(y = 0\)。
設z為非零複數，且設\(\alpha = |z|\)、\(\beta\)為z的輻角，其中\(0 \leq \beta \lt 2\pi\)（其中\(\pi\)為圓周率）。
對任一正整數n，設實數\(x_{n}\)與\(y_{n}\)分別為\(z^{n}\)的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若\(\alpha = 1\)且\(\beta = \frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = x_{3}\)
(2) 若\(y_{3} = 0\)，則\(y_{6} = 0\)
(3) 若\(x_{3} = 1\)，則\(x_{6} = 1\)
(4) 若數列\(\{y_{n}\}\)收斂，則\(\alpha \leq 1\)
(5) 若數列\(\{x_{n}\}\)收斂，則數列\(\{y_{n}\}\)也收斂
選項（1）
由棣美弗定理，\(z = \cos\frac{3\pi}{7} + i\sin\frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = \cos\left(10 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}\)，\(x_3 = \cos\left(3 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{9\pi}{7}\)。
因\(\cos\frac{2\pi}{7} \neq \cos\frac{9\pi}{7}\)，故\(x_{10} \neq x_3\)，（1）錯誤。
選項（2）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(y_3 = 0 \implies \sin3\beta = 0\)，即\(3\beta = k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），\(\beta = \frac{k\pi}{3}\)。
代入\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)，得\(6\beta = 2k\pi\)，此時\(\sin6\beta = 0\)，故\(y_6 = 0\)，（2）正確。
選項（3）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(x_3 = 1 \implies \alpha^3\cos3\beta = 1\)。
但\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)中，\(\alpha^6\cos6\beta\)未必等於1。例如，取\(\alpha = \sqrt[3]{2}\)，\(\cos3\beta = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\)，此時\(\cos6\beta\)無法保證\(\alpha^6\cos6\beta = 1\)，（3）錯誤。
選項（4）\(y_n = \alpha^n\sin(n\beta)\)。若\(\alpha > 1\)，\(\alpha^n\)趨向無窮，\(y_n\)因\(\sin(n\beta)\)振盪而不收斂；若\(\alpha \leq 1\)，\(\alpha^n \to 0\)（\(\alpha < 1\)）或穩定（\(\alpha = 1\)），此時\(y_n\)收斂。
因此，\(\{y_n\}\)收斂 \(\implies \alpha \lt 1\)，（4）錯誤。
選項（5）$\because \alpha\lt1\therefore \{y_n\}收斂$（5）正確。
答案是(2)(5)
坐 標 平 面 上,考 慮 兩 函 數 \( f (x) = x^{5}-5x^{3}+5x^{2}+5\) 與 \( g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})\) 的 函 數 圖 形（其中 \( \pi \) 為圓周率）。試 選 出 正 確 的 選 項。
(1) \( f'(1) = 0\)
(2) \( y = f (x) \) 在 閉 區 間 \([0,2]\) 為遞增
(3) \( y = f (x) \) 在 閉 區 間 \([0,2]\) 為凹向上
(4) 對 任 意 實 數 \( x\),\( g(x + 6\pi) = g(x)\)
(5) \( y = f (x) \) 與 \( y = g(x) \) 在 閉 區 間 \([3,4]\) 皆為遞增
(1) \(f'(x)=5x^{4}-15x^{2}+10x\),\(f'(1)=5 - 15 + 10 = 0\),(1) 對；
(2) \(f'(x)=5x(x^{3}-3x + 2)=5x(x - 1)^{2}(x + 2)\),在 \([0,2]\) 上 \(f'(x)\geq0\),\(y = f (x)\) 遞增,(2) 對；
(3) \(f''(x)=20x^{3}-30x + 10\),在 \([0,2]\) 上 \(f''(x)\) 有正有負,不是凹向上,(3) 錯；
(4) \(g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x)\) 的周期 \(T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6\),不是 \(6\pi\),(4) 錯；
(5) \(f'(x)>0\) 在 \([3,4]\) 成立,
$g(x)週期6且x=3時\theta=\frac{\pi}{3}\times3+\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi,\\x=4時\theta=\frac{\pi}{3}\times4+\frac{\pi}{2}=\frac{11}{6}\pi,此區間g(x)遞增,(5)對。$
答案是(1)(2)(5)。
