某商店以抽獎方式販售公仔，每次抽獎獨立且抽中機率為 \(\frac{2}{5}\)。參加者有兩種方式：方式一：先付225元得兩次抽獎機會，抽中即停止；兩次未抽中則多付75元得公仔。方式二：抽獎次數不限，每次付100元。問題12：若以方式一抽獎，則共需付300元才能得到一個公仔的機率為何？
(1) \(\left(\frac{2}{5}\right)^2\)
(2) \(\left(\frac{2}{5}\right)^3\)
(3) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
(4) \(\left(\frac{3}{5}\right)^3\)
(5) \(\left(\frac{2}{5}\right)\times\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
問題13：若以方式二抽獎直到抽中為止，試依期望值定義，使用 \(\sum\) 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。
[非選擇題（題組）]1. 設抽獎次數 \(X\)，\(P(X=k)=\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)（\(k=1,2,\dots\)）；
2. 期望值 \(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)；
3. 由幾何分布期望值公式 \(E(X)=\frac{1}{p}=\frac{5}{2}\)。答案：\(\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)，值為 \(\frac{5}{2}\)
問題14：假設花費金額不設限直到得到公仔為止，試分別求出兩種抽獎方式得到一個公仔所需付金額的期望值，並比較大小。
[非選擇題（題組）]1. 方式一：設金額 \(Y_1\)，\(Y_1=225\)（至少一次抽中）機率 \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)，\(Y_1=300\) 機率 \(\frac{9}{25}\)，\(E(Y_1)=225\times\frac{16}{25}+300\times\frac{9}{25}=252\)；
2. 方式二：金額 \(Y_2=100X\)，\(E(Y_2)=100\times\frac{5}{2}=250\)；
3. 故 \(E(Y_1)>E(Y_2)\)。答案：方式一期望252元，方式二期望250元，方式一期望大於方式二
設實係數多項式函數 \(f(x)=3ax^2+(1-a)\)，其中 \(-\frac{1}{2}\leq a\leq1\)。在坐標平面上，令 \(\Gamma\) 為 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸在 \(-1\leq x\leq1\) 所圍的區域。問題15：證明當 \(-1\leq x\leq1\) 時，\(f(x)\geq0\) 皆成立。
[非選擇題（題組）]問題16：證明對於所有 \(a\in[-\frac{1}{2},1],\Gamma\) 的面積皆為2。
[非選擇題（題組）]問題17：令 \(V\) 為 \(\Gamma\) 繞 \(x\) 軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有 \(a\in[-\frac{1}{2},1],V\) 是否都相等？若相等，求其值；若不相等，求 \(V\) 最大值及對應 \(a\)。
[非選擇題]1. 體積 \(V=\pi\int_{-1}^{1}[f(x)]^2dx=\pi\int_{-1}^{1}[9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2]dx\)；
2. 計算得 \(V=\pi\left(\frac{18}{5}a^2+\frac{4}{3}a(1-a)+2(1-a)^2\right)=2\pi(\frac{4}{5}a^2+1)\)， \(-\frac{1}{2}\le a\le1\) 有關；
3. 化簡為二次函數，求 \(a\in[-\frac{1}{2},1]\) 最值，畫圖得 \(a=1\) 時 \(V\) 最大，值為 \(\frac{18\pi}{5}\)。答案：不相等，\(a=-\frac{1}{2}\) 時最大值 \(\frac{18\pi}{5}\)
請問下列選項中哪一個數值 \(a\) 會使得 \(x\) 的方程式 \(\log a-\log x=\log (a – x)\) 有兩相異實數解?
(1)\(a = 1\)
(2)\(a = 2\)
(3)\(a = 3\)
(4)\(a = 4\)
(5)\(a = 5\)
由\(\log a-\log x=\log (a - x)\)，根據對數運算法則可得\(\log\frac{a}{x}=\log (a - x)\)，則\(\frac{a}{x}=a - x\)（\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)），整理得\(x^{2}-ax + a = 0\)。
此方程有兩相異實數解，則判別式\(\Delta = a^{2}-4a\gt0\)，解得\(a\lt0\)或\(a\gt4\)。
又因為\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)，即\(x\lt a\)，且\(x\)是\(x^{2}-ax + a = 0\)的根，由韋達定理\(x_1 + x_2 = a\)，\(x_1x_2 = a\)，所以\(a\gt0\)。
綜上，\(a\gt4\)，只有\(a = 5\)滿足條件。
答案為(5)。
下列哪一個選項的數值最接近\(\cos (2.6\pi)\)？
(1)\(\sin (2.6\pi)\)
(2)\(\tan (2.6\pi)\)
(3)\(\cot(2.6\pi)\)
(4)\(\sec(2.6\pi)\)
(5)\(\csc(2.6\pi)\)
先化簡 \( 2.6\pi = 2\pi + \frac{3\pi}{5} \)，利用三角函數周期性：
\[
\cos(2.6\pi) = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\frac{3\pi}{5} = \cos108^\circ = -\cos72^\circ \approx -0.3
\]
\[
\sin(2.6\pi) = \sin\frac{3\pi}{5} = \sin108^\circ = \sin72^\circ \approx 0.9
\]
逐一分析選項：
1. \( \sin(2.6\pi) = \sin72^\circ > 0 \approx 0.9 \)（不符合「介於\(-1\sim0\)」）；
2. \( \tan(2.6\pi) = \tan108^\circ = -\tan72^\circ = -\frac{\sin72^\circ}{\cos72^\circ} = -\frac{\sin72^\circ}{\sin18^\circ} < -1 \)（不符合）；
3. \( \cot(2.6\pi) = \cot108^\circ = -\cot72^\circ = -\frac{\cos72^\circ}{\sin72^\circ} = -\frac{\sin18^\circ}{\sin72^\circ} \approx -\frac{0.3}{0.9} = -0.3 \)（介於\(-1\sim0\)之間）；
4. \( \sec(2.6\pi) = \sec108^\circ = -\sec72^\circ = -\frac{1}{\cos72^\circ} = -\frac{1}{\sin18^\circ} < -1 \)（不符合）；
5. \( \csc(2.6\pi) = \csc108^\circ = \csc72^\circ = \frac{1}{\sin72^\circ} > 1 \)（不符合）。
除了3的值介於\(-1\sim0\)之間外，其餘均不合，故選 \( \boxed{3} \)。
假設三角形 \(ABC\) 的三邊長分別為\(\overline{AB}=5\)、\(BC = 8\)、\(AC = 6\)。請選出和向量\(\overrightarrow{AB}\)的內積為最大的選項。
(1)\(\overset{\rightharpoonup}{AC}\)
(2)\(\overset{\rightharpoonup}{CA}\)
(3)\(\overset{\rightharpoonup}{BC}\)
(4)\(\overset{\rightharpoonup}{CB}\)
(5)\(\overset{\rightharpoonup}{AB}\)
根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
由餘弦定理\(\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{25 + 36 - 64}{2\times5\times6}=-\frac{1}{20}\)；
\(\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{25 + 64 - 36}{2\times5\times8}=\frac{53}{80}\)；
\(\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{36 + 64 - 25}{2\times6\times8}=\frac{75}{96}=\frac{25}{32}\)。
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos A=5\times6\times(-\frac{1}{20})=-\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)=-5\times8\times\frac{53}{80}=-\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}=25\)。
比較可得\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}\)最大。
答案為(4)。
假設\(a\)，\(b\)皆為非零實數，且坐標平面上二次函數\(y = ax^{2}+bx\)與一次函數\(y = ax + b\)的圖形相切。請選出切點所在位置為下列哪一個選項。
(1)在\(x\)軸上
(2)在\(y\)軸上
(3) 在第一象限
(4) 在第四象限
(5)當\(a\gt0\)時，在第一象限；當\(a\lt0\)時，在第四象限
由\(ax^{2}+bx = ax + b\)，移項得\(ax^{2}+(b - a)x - b = 0\)。
因為兩函數圖形相切，所以判別式\(\Delta=(b - a)^{2}+4ab = 0\)，即\((a + b)^{2}=0\)，\(a=-b\)。
將\(a=-b\)代入一次函數\(y = ax + b\)得\(y = ax - a=a(x - 1)\)，代入二次函數得\(y = ax^{2}-ax\)。
聯立方程求解切點，令\(ax - a = ax^{2}-ax\)，即\(ax^{2}-2ax + a = 0\)，\(x^{2}-2x + 1 = 0\)，解得\(x = 1\)，\(y = 0\)，切點為\((1,0)\)，在\(x\)軸上。
答案為(1)。
