〈111分科數甲〉彙整頁面

111分科數學甲試題-01

設$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$是首項為10、公比是10的等比數列。令$b = \sum\limits_{n = 1}^{3}\log_{a_{n}}a_{n + 1}$ ，試選出$b$的範圍。
(1)$2 < b\leqslant3$
(2)$3 < b\leqslant4$
(3)$4 < b\leqslant5$
(4)$5 < b\leqslant6$
(5)$6 < b\leqslant7$

[單選]

答案

由等比數列通項公式$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$（此處$a_{1}=10$，$q = 10$）可得$a_{n}=10^{n}$。
則$b=\log_{a_{1}}a_{2}+\log_{a_{2}}a_{3}+\log_{a_{3}}a_{4}=\log_{10}10^{2}+\log_{10^{2}}10^{3}+\log_{10^{3}}10^{4}$。
根據換底公式$\log_{m}n=\frac{\log_{k}n}{\log_{k}m}$，可化簡為$b = 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{12 + 9 + 8}{6}=\frac{29}{6}\approx4.83$ ，所以$4 < b\leqslant5$ ，答案為(3)。

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111分科數學甲試題-02

設$c$為實數使得三元一次方程組$\begin{cases}x – y + z = 0\\2x + cy + 3z = 1\\3x – 3y + cz = 0\end{cases}$無解。試選出$c$之值。
(1)$-3$
(2)$-2$
(3)$0$
(4)$2$
(5)$3$

[單選]

答案

對於三元一次方程組$\begin{cases}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z = D_{1}\\A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z = D_{2}\\A_{3}x + B_{3}y + C_{3}z = D_{3}\end{cases}$，其係數行列式$\Delta=\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}$。
此方程組中$\Delta=\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&c&3\\3&-3&c\end{vmatrix}=c^{2}-3c - 10$，令$\Delta = 0$，即$(c - 5)(c + 2)=0$ ，解得$c = 5$或$c=-2$ 。
當$c=-2$時，方程組中前兩個方程相加得$3x + z = 1$，第三個方程為$3x - 3y - 2z = 0$，此時方程組無解，答案為(2)。

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111分科數學甲試題-03

坐標空間中$O$為原點，點$P$在第一卦限且$\overline{OP}=1$。已知直線$OP$與$x$軸有一夾角為$45^{\circ}$且$P$點到$y$軸的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$。試選出點$P$的$z$坐標。
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{\sqrt{2}}{4}$
(3)$\frac{\sqrt{3}}{3}$
(4)$\frac{\sqrt{6}}{6}$
(5)$\frac{\sqrt{3}}{6}$

[單選]

答案

設$P(x,y,z)$ ，由$\overline{OP}=1$可得$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 。
直線$OP$與$x$軸夾角為$45^{\circ}$ ，根據向量夾角公式$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{i}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{i}\vert}$（$\overrightarrow{i}$為$x$軸正方向單位向量），則$\cos45^{\circ}=\frac{x}{\overline{OP}}$，即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
又$P$點到$y$軸距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，即$\sqrt{x^{2}+z^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，把$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入可得$z=\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，答案為(4)。

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111分科數學甲試題-04

設多項式$f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k$ ，$g(x)=x^{2}+ax + 1$ ，其中$k$，$a$為實數。已知$g(x)$整除$f(x)$ ，且方程式$g(x)=0$有虛根。試選出為方程式$f(x)=0$的根之選項。
(1)$-3$
(2)$0$
(3)$1$
(4)$\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$
(5)$\frac{3+\sqrt{-5}}{2}$

[多選]

答案

因為$g(x)$整除$f(x)$，設$f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m$ 。
對比$f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k$的係數可得：$a + m = 2$，$am + 1=-2$ ，解聯立方程得$m = 3$，$a=-1$ 。
所以$f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)$ ，對於一元二次方程$x^{2}-x + 1 = 0$，由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（此處$a = 1$，$b=-1$，$c = 1$）可得根為$x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$ ，所以$f(x)=0$的根為$-3$，$\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ ，答案為(1)(4)。

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111分科數學甲試題-05

坐標平面上有一圖形$\Gamma$，其方程式為$(x – 1)^{2}+(y – 1)^{2}=101$ 。試選出正確的選項。
(1)$\Gamma$與$x$軸負向、$y$軸負向分別交於$(-9,0)$、$(0,-9)$
(2)$\Gamma$上$x$坐標最大的點是點$(11,0)$
(3)$\Gamma$上的點與原點距離的最大值為$\sqrt{2}+\sqrt{101}$
(4)$\Gamma$在第三象限的點之極坐標可用$[9,\theta]$表示，其中$\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi$
(5)$\Gamma$經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含$xy$項的二元二次方程式表示

[多選]

答案

令$y = 0$ ，則$(x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101$ ，即$(x - 1)^{2}=100$ ，解得$x - 1=\pm10$ ，$x = 11$或$x=-9$ ；令$x = 0$ ，則$(0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101$ ，即$(y - 1)^{2}=100$ ，解得$y - 1=\pm10$ ，$y = 11$或$y=-9$ ，所以(1)正確。
圓的標準方程為$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$，此圓圓心為$(1,1)$ ，半徑$r=\sqrt{101}$ ，$\Gamma$上$x$坐標最大的點是$(1+\sqrt{101},1)$ ，(2)錯誤。
圓心$(1,1)$到原點距離為$\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}$ ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即$\sqrt{2}+\sqrt{101}$ ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑$\sqrt{101}>9$ ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含$xy$項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。

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111分科數學甲試題-06

假設2階方陣$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$所代表的線性變換將坐標平面上三點$O(0,0)$ 、$A(1,0)$ 、$B(0,1)$分別映射到$O(0,0)$ ，$A'(3,\sqrt{3})$ ，$B'(-\sqrt{3},3)$ ，並將與原點距離為1的點$C(x,y)$映射到點$C'(x’,y’)$ 。試選出正確的選項。
(1)行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6$
(2)$\overline{OC’}=2\sqrt{3}$
(3)$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OC’}$的夾角為$60^{\circ}$
(4)有可能$y = y’$
(5)若$x < y$則$x’ < y’$

[多選]

答案

由線性變換性質，$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}$得$a = 3$，$c=\sqrt{3}$；$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}$得$b=-\sqrt{3}$，$d = 3$。行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12$，(1)錯誤。$\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}$，$\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}$，(2)正確。$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3$，$\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，夾角為$30^{\circ}$，(3)錯誤。令$y = y'$，即$-\sqrt{3}x + 3y = y$，$x=\frac{2y}{\sqrt{3}}$，有可能成立，(4)正確。取$x = 0$，$y = 1$，$x'=-\sqrt{3}$，$y' = 3$，此時$x < y$，但$x' < y'$不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。

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111分科數學甲試題-07

假設$A$，$B$為一拋物線$\Gamma$上兩點且其連線段通過$\Gamma$的焦點$F$ 。設$A$，$F$，$B$在$\Gamma$之準線上的投影分別為$A’$ ，$F’$ ，$B’$ 。試選出等於$\frac{\overline{A’F’}}{\overline{A’A}}$的選項。
(注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確)
(1)$\tan\angle1$，其中$\angle1=\angle A’F’A$
(2)$\sin\angle2$，其中$\angle2=\angle AF’F$
(3)$\sin\angle3$，其中$\angle3=\angle A’AF$
(4)$\cos\angle4$，其中$\angle4=\angle F’FB$
(5)$\tan\angle5$，其中$\angle5=\angle FF’B$

[多選]

答案

### 解析
(1) ×：
$\triangle AA'F'$ 是直角三角形，故 $\frac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}} = \frac{1}{\tan\angle 1}$。

(2) ×：
由內錯角相等，$\angle 2 = \angle AF'F = \angle A'AF$，因此 $\tan\angle 2 = \frac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}}$。

(3) ○：
如圖，$\overline{AF} = \overline{AA'}$ 且 $\overline{FH} = \overline{A'F'}$，故 $\sin\angle 3 = \frac{\overline{FH}}{\overline{AF}} = \frac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}}$。

(4) ×：
由同位角相等，$\angle 4 = \angle 3$，但 $\frac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}} = \sin\angle 3 = \sin\angle 4$ 的推導不符合題意要求。

(5) ○：
由內錯角相等，$\angle 5 = \angle FF'B = \angle F'BB'$；
根據拋物線定義，$\overline{BB'} = \overline{BF}$，故 $\tan\angle 5 = \frac{\overline{B'F'}}{\overline{BB'}} = \frac{\overline{B'F'}}{\overline{BF}}$；
又 $\frac{\overline{B'F'}}{\overline{BF}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{AA'}}$。

最終選：(3)(5)

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111分科數學甲試題-08

假設兩數列$\lt a_{n}\gt$、$\lt b_{n}\gt$ ，對所有正整數$n$都滿足$b_{n}+\frac{4n – 1}{n}\lt a_{n}\lt 3b_{n}$ 。已知$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=6$ ，試選出正確的選項。
(1)$b_{n}\lt6-\frac{4n – 1}{n}$
(2)$b_{n}\gt\frac{4n – 1}{2n}$
(3)數列$\lt b_{n}\gt$有可能發散
(4)$a_{10000}\lt6.1$
(5)$a_{10000}\gt5.9$

[多選]

答案

由$b_{n}+\frac{4n - 1}{n}$收斂，(3)錯誤。因為$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=6$ ，所以$n$足夠大時，$a_{n}$接近6 ，$a_{10000}$接近6 ，所以$a_{10000}>5.9$ ，(5)正確，(4)錯誤。答案為(2)(5)。

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111分科數學甲試題-09

大吉百貨春節期間準備許多紅包讓顧客抽籤得紅包，並宣稱活動會一直持續到送出所有的紅包。抽籤的籤筒內有5支籤、其中只有1支籤有標示「大吉」，且每支籤被抽中的機會均等。每位顧客從籤筒中抽取一支籤記錄後，將籤放回籤筒再抽下一回，最多抽取3回。當抽取過程中出現連續兩回抽中「大吉」，則該顧客停止抽籤並得到紅包。我們可將每位顧客抽籤是否得到紅包視為一次伯努力試驗。設整個活動第一個得到紅包的顧客是第$X$位抽籤的顧客，並以$E(X)$表示隨機變數$X$的期望值，則$E(X)=(9 – 1)(9 – 2)$ 。(四捨五入到整數位)

[選填]

答案

先求一次抽籤得到紅包的概率$p$。抽中「大吉」概率為$\frac{1}{5}$。連續兩回抽中「大吉」有兩種情況：前兩回抽中，概率為$(\frac{1}{5})^2$；第一回未中，後兩回抽中，概率為$\frac{4}{5}\times(\frac{1}{5})^2$，所以$p = (\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}\times(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}+\frac{4}{125}=\frac{9}{125}$。由伯努利試驗的期望公式$E(X)=\frac{1}{p}$，可得$E(X)=\frac{125}{9}\approx14$。

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111分科數學甲試題-10

老師要求班上學藝安排在週一、二、三、四這$4$天，發國、英、數、社、自共$5$張複習卷，每天至少發其中一科的卷子給同學帶回家練習，隔天繳交。由於週二有國、英兩門課，國文老師要求國文的卷子一定要在週一發出以便檢討；而英文老師因為當天另有指派作業，所以要求英文的卷子不要在週二發出。依此要求，學藝共有多少種安排方式？

[選填]

答案

由題意知，國文卷一定要在星期一發放，且英文卷不能在星期二發放，討論如下：

① 一、二、三、四
國英
$\dfrac{3!}{\text{其他 3 科排二、三、四}} = 6$。

② 一、二、三、四
國英
$\dfrac{3!}{\text{排一、二、四}} + \dfrac{3!}{\text{排二、三、四}} + \dfrac{3 \times 2!}{\text{星期二排兩科或星期四排兩科}} = 18$。

③ 一、二、三、四
國英
$\dfrac{3!}{\text{排一、二、三}} + \dfrac{3!}{\text{排二、三、四}} + \dfrac{3 \times 2!}{\text{星期二排兩科或星期三排兩科}} = 18$。

所以共有$6 + 18 + 18 = 42$（種）。

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