坐 標 空 間 中,考 慮 滿足 內積 \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}\) 與外積 \(\vec{u} \times \vec{v} = (−1,0,3)\) 的 兩 向 量 \(\vec{u} \)、\(\vec{v} \) 。試 選出正確的選項。
(1) \(\vec{u} \) 與 \(\vec{v} \) 的夾角 \( \theta \)（其中 \( 0\leq\theta\leq\pi \),\( \pi \) 為圓周率） 大於 \( \frac{\pi}{4}\)
(2) \(\vec{u} \) 可能為 \((1,0,−1)\)
(3) \(\vert\vec{u}|+|\vec{v}\vert\ge 2\sqrt{5}\)
(4) 若 已知 \(\vec{v} \),則 \(\vec{u} \) 可以 被 唯 一 決定
(5) 若 已知 \(\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert\),則 \(\vert\vec{v}\vert\) 可以 被 唯 一 決定
(1) \(\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\sin\theta=\sqrt{10}\cdots(a)\),\(\vec{u} \cdot \vec{v} =\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos\theta=\sqrt{15}\cdots(b)\),$\frac{(a)}{(b)}$可得 \(\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\le1\),所以 \( \theta\lt\frac{\pi}{4}\),(1) 錯；
(2) $\because (1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0,不滿足外積為公垂向量,內稽等於0之要求$,(2) 錯；
(3) $by(1)~~(a)^2+(b)^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2=25\therefore |\vec{u}||\vec{v}|=5$
$算幾不等式~~\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{2}\ge\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2}=5\\ |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge2|\vec{u}||\vec{v}|=10 \\(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge2|\vec{u}||\vec{v}|+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge10+2\times5=20\\|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(4)$若\vec{u}確定則|\vec{u}|,|\vec{v}|都確定\\又\vec{v}//\vec{u}\times(-1,0,3)\therefore \vec{v}有兩個方向\\若加上第(1)選項可知夾角\\就能確定方向只有一種可能~~所以\vec{v}的大小與方向都能確定,只有一種可能$ ,(4) 對；
(5) 由$令\overset{確定}{\square^2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\overset{可確定}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\知|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2可確定,\\只知道夾角但是|\vec{v}|無法確定$
,(5) 錯。
答案是(3)(4)。
