指考分科數學-甲

首先計算抽出兩球同色的概率：
抽出兩個紅球的概率\(P_1=\frac{C_{4}^{2}}{C_{4 + 8 + 13}^{2}}=\frac{\frac{4!}{2!(4 - 2)!}}{\frac{25!}{2!(25 - 2)!}}=\frac{4\times3}{25\times24}=\frac{1}{50}\)；
抽出兩個藍球的概率\(P_2=\frac{C_{8}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{\frac{8!}{2!(8 - 2)!}}{\frac{25!}{2!(25 - 2)!}}=\frac{8\times7}{25\times24}=\frac{7}{75}\)；
抽出兩個白球的概率\(P_3=\frac{C_{13}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{\frac{13!}{2!(13 - 2)!}}{\frac{25!}{2!(25 - 2)!}}=\frac{13\times12}{25\times24}=\frac{13}{50}\)。
所以抽出兩球同色的概率\(P_{同}=P_1 + P_2+P_3=\frac{1}{50}+\frac{7}{75}+\frac{13}{50}=\frac{3 + 14 + 39}{150}=\frac{56}{150}=\frac{28}{75}\)。
抽出兩球異色的概率\(P_{異}=1 - P_{同}=1-\frac{28}{75}=\frac{47}{75}\)。
獎金期望值\(E = 450\times\frac{28}{75}+75\times\frac{47}{75}=168 + 47 = 215\)（原題答案格式中，將215分別對應填入 ￮ 9 ￮ 10 ￮ 11 中，即2填在9處，1填在10處，5填在11處）。

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\(m=\frac{1}{2}\)。

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$\dfrac{8}{25}$

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平面\(E\)由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出，則平面\(E\)的法向量\(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec{i}(0\times1 - 1\times1)-\vec{j}(2\times1 - 0\times1)+\vec{k}(2\times1 - 0\times0)=-\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}=(-1,-2,2)\)。
所以平面\(E\)的方程為\(-x - 2y + 2z = 0\)，即\(x + 2y - 2z = 0\)，所以\(b = 2\)，\(c=-2\)，\(d = 0\)。

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設向量\(\overrightarrow{AB}=\vec{w}\)，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)上的投影向量為\(\overrightarrow{A'B'}\)。
根據向量投影的性質，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)方向上的分量被去掉，而\(\vec{u}\)在平面\(E\)上，所以\(\overrightarrow{AB}\)在\(\vec{u}\)方向上的分量在投影過程中不變。
即\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)（向量在平面上的投影向量與平面內向量的數量積等於原向量與該平面內向量的數量積，可由向量投影的幾何意義得出）。

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已知\(\overrightarrow{A'B'}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，\(\vec{u}=(2,0,1)\)，\(\vec{v}=(0,1,1)\)，所以\(\overrightarrow{A'B'}=(2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\)。
由(2)知\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(2,0,1)=5\)，可得\(4\alpha+\alpha+\beta = 5\)，即\(5\alpha+\beta = 5\) ①；
又\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(0,1,1)=2\)，可得\(\beta+\alpha+\beta = 2\)，即\(\alpha + 2\beta = 2\) ②。
由①\(\times2 -\)②得：\(10\alpha + 2\beta - (\alpha + 2\beta)=10 - 2\)，\(9\alpha = 8\)，解得\(\alpha=\frac{8}{9}\)。
把\(\alpha=\frac{8}{9}\)代入①得：\(5\times\frac{8}{9}+\beta = 5\)，\(\beta = 5 - \frac{40}{9}=-\frac{5}{9}\)。
所以\(\alpha=\frac{8}{9}\)，\(\beta =-\frac{5}{9}\)。

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首先對\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)求導，可得\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)。
將\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)展開：
\(x^{3}+bx^{2}+cx + d=\frac{1}{3}(3x^{2}+2bx + c)(x + k)\)
\(=\frac{1}{3}(3x^{3}+3kx^{2}+2bx^{2}+2bkx + cx + ck)\)
\(=x^{3}+(k+\frac{2b}{3})x^{2}+(\frac{2bk + c}{3})x+\frac{ck}{3}\)。
對比等式兩邊\(x^{2}\)的係數，可得\(b = k+\frac{2b}{3}\)，
移項可得\(b-\frac{2b}{3}=k\)，即\(\frac{b}{3}=k\)，所以\(b = 3k\)。

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由(1)知\(b = 3k\)，\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)，\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)。
因為\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，所以\(f(x)\)能被\(f'(x)\)整除，即\(f(x)=0\)的根也是\(f'(x)=0\)的根。
\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)，\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)。
假設\(f'(x)=0\)的兩個根為\(x_1\)，\(x_2\)，由韋達定理\(x_1 + x_2=-\frac{2b}{3}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{3}\)。
又因為\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)，所以\(f(x)\)有一個根為\(-k\)，不妨設\(x_1=-k\)。
將\(x_1=-k\)代入\(x_1 + x_2=-\frac{2b}{3}\)，由\(b = 3k\)可得\(-k + x_2=-2k\)，則\(x_2=-k\)。
所以\(f'(x)=0\)的兩個根相等，即\(f'(x)=0\)有重根。

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$ \dfrac{15}{4}$

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因點\((10x_{0},100y_{0})\)在\(y = 10^{x}\)上，所以\(100y_{0}=10^{10x_{0}}\)，即\(y_{0}=10^{10x_{0}-2}\)，\(\log y_{0}=10x_{0}-2\)。
又因點\((x_{0},\log y_{0})\)在\(y = ax + b\)上，所以\(10x_{0}-2=ax_{0}+b\)，可得\(a = 10\)，\(b=-2\) 。
故\(2a - b=2\times10-(-2)=22\) ，答案為(5)。

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