坐標空間中有一個正立方體ABCDEFGH ，如果知道平面BDE的方程式為2x + 2y – z = -7，且A點坐標為(2,2,6)，試求出A點到平面BDE的距離。(2分)
[非選擇題]根據點\((x_0,y_0,z_0)\)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\)。
對於平面2x + 2y - z = -7，即2x + 2y - z + 7 = 0，A(2,2,6)。
則A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2 - 6 + 7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert4 + 4 - 6 + 7\vert}{\sqrt{4 + 4 + 1}}=\frac{9}{3}=3\)。
坐標空間中有一個正立方體ABCDEFGH ，承(3)，試求出G點的坐標。(4分)
[非選擇題]已知 \( |\overrightarrow{AG}| = 3 \times d(A, \text{平面}BDE) = 9 \)，且 \( \overrightarrow{AG} \parallel \) 平面 \( BDE \) 的法向量 \( \vec{n} = (2,2,-1) \)。
設 \( A(2,2,6) \)，\( G(x,y,z) \)，由 \( \overrightarrow{AG} \parallel (2,2,-1) \)，得參數式：
\[
\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-6}{-1} = t \implies x=2t+2,\ y=2t+2,\ z=-t+6
\]
由 \( |\overrightarrow{AG}| = 9 \)，得：
\[
\sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2} = 9 \implies \sqrt{9t^2} = 9 \implies |t|=3
\]
因 \( A、G \) 在平面 \( BDE \) 異側，取 \( t=-3 \)，故 \( G \) 的坐標為：
\[
x=2(-3)+2=-4,\ y=2(-3)+2=-4,\ z=-(-3)+6=9
\]
即 \( G \) 坐標為 \( \boxed{(-4,-4,9)} \)。
二、考慮三次多項式 \( f(x) = -x^3 – 3x^2 + 3 \)。試回答下列問題。
(1) 在坐標平面上，試描繪 \( y = f(x) \) 的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。（4分）
(2) 令 \( f(x) = 0 \) 的實根為 \( a_1, a_2, a_3 \)，其中 \( a_1 < a_2 < a_3 \)，試求 \( a_1, a_2, a_3 \) 分別在哪兩個相鄰整數之間。（2分）
(3) 承(2)，試說明 \( f(x) = a_1 \)、\( f(x) = a_2 \)、\( f(x) = a_3 \) 各有幾個相異實根。（4分）
(4) 試求 \( f(f(x)) = 0 \) 有幾個相異實根。
（註：\( f(f(x)) = -(f(x))^3 – 3(f(x))^2 + 3 \)）（2分）
已知 \( f(x) = -x^3 - 3x^2 + 3 \)，先求導數：
\[
f'(x) = -3x^2 - 6x, \quad f''(x) = -6x - 6
\]
(1) **極值與圖形**
令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( -3x(x+2) = 0 \implies x=0 \) 或 \( x=-2 \)：
- \( x=0 \) 時，\( f(0)=3 \)，且 \( f''(0)=-6 < 0 \)，故 \( (0, 3) \) 為**極大值點**；
- \( x=-2 \) 時，\( f(-2)=-1 \)，且 \( f''(-2)=6 > 0 \)，故 \( (-2, -1) \) 為**極小值點**。
(2) **實根的區間**
由勘根定理，計算整數點的函數值：
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-3 & 3 \\
-2 & -1 \\
-1 & 1 \\
0 & 3 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\]
因 \( f(-3)f(-2) < 0 \)、\( f(-2)f(-1) < 0 \)、\( f(0)f(1) < 0 \)，故：
- \( a_1 \in (-3, -2) \)，\( a_2 \in (-2, -1) \)，\( a_3 \in (0, 1) \)。
(3) **\( f(x) = a_i \) 的實根個數**
由 \( f(x) \) 的圖形（極大值3、極小值-1）：
- \( a_1 \in (-3, -2) < -1 \)，故直線 \( y=a_1 \) 與 \( f(x) \) 僅交於1點，即 \( f(x)=a_1 \) 有**1個實根**；
- \( a_2 \in (-2, -1) < -1 \)，同理 \( f(x)=a_2 \) 有**1個實根**；
- \( a_3 \in (0, 1) \in (-1, 3) \)，直線 \( y=a_3 \) 與 \( f(x) \) 交於3點，即 \( f(x)=a_3 \) 有**3個實根**。
(4) **\( f(f(x)) = 0 \) 的實根個數**
\( f(f(x))=0 \) 等價於 \( f(x)=a_1 \) 或 \( f(x)=a_2 \) 或 \( f(x)=a_3 \)，結合(3)的結果：
\[
\text{實根總數} = 1 + 1 + 3 = 5
\]
故 \( f(f(x))=0 \) 有**5個相異實根**。
某公司尾牙舉辦「紅包大放送」活動。每位員工擲兩枚均勻銅板一次，若出現兩個反面可得獎金400元；若出現一正一反可得獎金800元；若出現兩個正面可得獎金800元並且獲得再擲一次的機會，其獲得獎金規則與前述相同，但不再有繼續投擲銅板的機會(也就是說每位員工最多有兩次擲銅板的機會)。試問每位參加活動的員工可獲得獎金的期望值為何？
(1)850元
(2)875元
(3)900元
(4)925元
(5)950元
擲兩枚銅板，共有\(4\)種等可能結果：正正、正反、反正、反反。
\(P\)（兩個反面）\(=\frac{1}{4}\)，此時獎金\(400\)元；\(P\)（一正一反）\(=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，此時獎金\(800\)元；\(P\)（兩個正面）\(=\frac{1}{4}\) 。
若第一次擲出兩個正面，第二次擲銅板：
\(P\)（第二次擲出兩個反面）\(=\frac{1}{4}\)，獎金為\(800 + 400 = 1200\)元；\(P\)（第二次擲出一正一反）\(=\frac{1}{2}\)，獎金為\(800 + 800 = 1600\)元；\(P\)（第二次擲出兩個正面）\(=\frac{1}{4}\)，獎金為\(800 + 800 = 1600\)元。
獎金期望值\(E = 400\times\frac{1}{4}+800\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times(\frac{1}{4}\times1200+\frac{1}{2}\times1600+\frac{1}{4}\times1600)\)
\(=100 + 400+\frac{1}{4}(300 + 800 + 400)=100 + 400 + 375 = 875\)元。
答案為(2)。
設\(n\)為正整數。第\(n\)個費馬數（Fermat Number ）定義為\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，例如\(F_{1}=2^{(2^{1})}+1=2^{2}+1 = 5\)，\(F_{2}=2^{(2^{2})}+1=2^{4}+1 = 17\)。試問\(\frac{F_{13}}{F_{12}}\)的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項？（\(\log 2 ≈0.3010\) ）
(1)120
(2)240
(3)600
(4)900
(5)1200
已知\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，則\(\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\)。
因為\(2^{2^{13}}=2^{2^{12}\times2}=(2^{2^{12}})^2\)，當\(x\)很大時，\(\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\approx\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}=2^{2^{13}-2^{12}}=2^{2^{12}(2 - 1)}=2^{2^{12}}\)。
設\(N = 2^{2^{12}}\)，對其取常用對數\(\log N=\log(2^{2^{12}})=2^{12}\log 2\)。
\(2^{12}=4096\)，\(\log N = 4096\times0.3010\approx1233\)。
根據數的位數公式，若\(\log N = n + d\)（\(n\)為整數，\(0\leq d<1\)），則\(N\)的位數是\(n + 1\)，所以\(2^{2^{12}}\)的位數約為\(1233 + 1 = 1234\)，最接近1200。
答案為(5)。
在一座尖塔的正南方地面某點A，測得塔頂的仰角為14°；又在此尖塔正東方地面某點B，測得塔頂的仰角為18°30’，且A、B兩點距離為65公尺。已知當在線段\(\overline{AB}\)上移動時，在C點測得塔頂的仰角為最大，則C點到塔底的距離最接近下列哪一個選項？（\(\cot14^{\circ}≈4.01\)，\(\cot18^{\circ}30’≈2.99\) ）
(1)27公尺
(2)29公尺
(3)31公尺
(4)33公尺
(5)35公尺
設塔高為\(h\)，塔底為\(O\)點。在\(Rt\triangle AOC\)中，\(\cot14^{\circ}=\frac{AO}{h}\)，所以\(AO = h\cot14^{\circ}\)；在\(Rt\triangle BOC\)中，\(\cot18^{\circ}30'=\frac{BO}{h}\)，所以\(BO = h\cot18^{\circ}30'\)。
在\(\triangle AOB\)中，\(\angle AOB = 90^{\circ}\)，根據勾股定理\(AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\)，已知\(AB = 65\)，則\(65^{2}=h^{2}\cot^{2}14^{\circ}+h^{2}\cot^{2}18^{\circ}30'\)。
\(h^{2}=\frac{65^{2}}{\cot^{2}14^{\circ}+\cot^{2}18^{\circ}30'}=\frac{65^{2}}{4.01^{2}+2.99^{2}}=\frac{4225}{16.0801 + 8.9401}=\frac{4225}{25.0202}\)。
當在線段\(\overline{AB}\)上的\(C\)點測得塔頂仰角最大時，此時\(OC\perp AB\)。
由三角形面積公式可得\(S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO=\frac{1}{2}AB\cdot OC\)，即\(OC=\frac{AO\cdot BO}{AB}\)。
\(AO\cdot BO = h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'\)，所以\(OC=\frac{h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'}{AB}\)。
把\(h^{2}=\frac{4225}{25.0202}\)，\(\cot14^{\circ}≈4.01\)，\(\cot18^{\circ}30'≈2.99\)，\(AB = 65\)代入可得：
\(OC=\frac{\frac{4225}{25.0202}\times4.01\times2.99}{65}\)
\(=\frac{4225\times4.01\times2.99}{25.0202\times65}\)
\(=\frac{4225\times11.9899}{1626.313}\)
\(\approx\frac{4225\times12}{1626.313}=\frac{50700}{1626.313}\approx31\)（公尺）。
答案為(3)。
設Γ為坐標平面上通過$A(7,0)$與\(B(0,\frac{7}{2})\)兩點的圓。試選出正確的選項。
(1)Γ的半徑大於或等於5
(2)當Γ的半徑達到最小可能值時，Γ通過原點
(3)Γ與直線\(x + 2y = 6\)有交點
(4)Γ的圓心不可能在第四象限
(5)若Γ的圓心在第三象限，則Γ的半徑大於8
袋中有2顆紅球、3顆白球與1顆藍球，其大小皆相同。今將袋中的球逐次取出，每次隨機取出一顆，取後不放回，直到所有球被取出為止。試選出正確的選項。
(1)「取出的第一顆為紅球」的機率等於「取出的第二顆為紅球」的機率
(2)「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為紅球」兩者為獨立事件
(3)「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為白球或藍球」兩者為互斥事件
(4)「取出的第一、二顆皆為紅球」的機率等於「取出的第一、二顆皆為白球」的機率
(5)「取出的前三顆皆為白球」的機率小於「取出的前三顆球顏色皆相異」的機率
(1) “取出的第一顆為紅球”的概率為\(\frac{2}{2 + 3 + 1}=\frac{1}{3}\) 。
“取出的第二顆為紅球”分兩種情況：若第一顆是紅球，概率為\(\frac{2}{6}×\frac{1}{5}\)；若第一顆不是紅球，概率為\(\frac{4}{6}×\frac{2}{5}\)，則“取出的第二顆為紅球”的概率為\(\frac{2}{6}×\frac{1}{5}+\frac{4}{6}×\frac{2}{5}=\frac{1}{3}\)，二者相等，(1)正確。
(2) 因為第一次取球的結果會影響第二次取球時袋中球的情況，所以“取出的第一顆為紅球”與“取出的第二顆為紅球”不是獨立事件，(2)錯誤。
(3) 當第一次取出紅球時，第二次仍有可能取出白球或藍球，所以這兩個事件不是互斥事件，(3)錯誤。
(4) “取出的第一、二顆皆為紅球”的概率是\(\frac{2}{6}×\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\)，“取出的第一、二顆皆為白球”的概率是\(\frac{3}{6}×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}\)，二者不相等，(4)錯誤。
(5) “取出的前三顆皆為白球”的概率為\(\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}\)。
“取出的前三顆球顏色皆相異”的概率為\(\frac{2}{6}×\frac{3}{5}×\frac{1}{4}+\frac{2}{6}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}+\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}+\frac{3}{6}×\frac{1}{5}×\frac{2}{4}+\frac{1}{6}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{1}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}=\frac{1}{5}\)，所以“取出的前三顆皆為白球”的概率小於“取出的前三顆球顏色皆相異”的概率，(5)正確。
答案為(1)(5)。
設\(\lt a_{n}\gt \)、\(\lt b_{n}\gt\)為兩實數數列，且對所有的正整數\(n\)，\(a_{n}\lt b_{n}^{2}\lt a_{n + 1}\)均成立。若已知\(\lim\limits _{n \to \infty} a_{n}=4\)，試選出正確的選項。
(1)對所有的正整數\(n\)，\(a_{n}\gt 3\)均成立
(2)存在正整數\(n\)，使得\(a_{n + 1}\gt 4\)
(3)對所有的正整數\(n\)，\(b_{n}^{2}\lt b_{n + 1}^{2}\)均成立
(4)\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}^{2}=4\)
(5)\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}=2\)或\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}=-2\)
已知三次實係數多項式函數\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + 2\)，在\(-2\leq x\leq1\)範圍內的圖形如示意圖。試選出正確的選項。
(1)\(a>0\)
(2)\(b>0\)
(3)\(c>0\)
(4)方程式\(f(x)=0\)恰有三實根
(5)\(y = f(x)\)圖形的反曲點的\(y\)坐標為正
