〈108指考數乙〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 2 頁

108指考數學乙試題-非選擇一(1)

考慮坐標平面上相異五點 \(O、A、B、C、D\)。已知向量 \(\overset{\rightharpoonup}{OC} = 3\overset{\rightharpoonup}{OA} 、 \overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB}\)，且向量 \(\overset{\rightharpoonup}{AB}\) 的坐標表示為 \(\overset{\rightharpoonup}{AB} = (3, -4)\)，試回答下列問題。
(1) 試以坐標表示向量 \(\overset{\rightharpoonup}{DC}\)。

[非選擇題]

答案

(1) 設\( O \)為坐標原點，則
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3, -4)
\]
又
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{DC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} \\
&= 3(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -3(3, -4) = (-9, 12)
\end{align*}
\]

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108指考數學乙試題-非選擇一(2)

(2) 若 \(\overset{\rightharpoonup}{OA} = (1, 2)\)，試利用二階行列式與面積的關係，求 \(\Delta OCD\) 的面積。

[非選擇題]

答案

(2) 承接(1)，已知\(\overrightarrow{OA} = (1, 2)\)，故\(\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} = (3, 6)\)。
由\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)，得
\[
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA} = (3, -4) + (1, 2) = (4, -2)
\]
因此\(\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB} = (12, -6)\)。

△\(OCD\)的面積可由行列式公式計算：
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 12 & -6 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} \left| 3 \times (-6) - 6 \times 12 \right| = \frac{1}{2} \left| -18 - 72 \right| = 45 \ (\text{平方單位})
\]

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108指考數學乙試題-非選擇二(1)

某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部25萬元及汽車一部60萬元，訂購經費上限是5400萬元。另此運輸公司共有100格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售1部重機可得淨利潤2.3萬元（即2萬3千元），銷售1部汽車則可得淨利潤5萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
(1) 試寫出此問題之線性規劃不等式及目標函數。

[非選擇題]

答案

設重機 \(x\) 部，汽車 \(y\) 部。
經費限制：\(25x + 60y \leq 5400\)。
停車位限制：\(\frac{x}{2} + y \leq 100\)（因每格停 2 部重機或 1 部汽車）。
非負限制：\(x \geq 0, y \geq 0\)。
目標函數：利潤 \(P = 2.3x + 5y\)（萬元）。
答案為 \(25x + 60y \leq 5400\)，\(\frac{x}{2} + y \leq 100\)，\(x \geq 0\)，\(y \geq 0\)，\(P = 2.3x + 5y\)。

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108指考數學乙試題-非選擇二(2)

(2) 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。

[非選擇題]

答案

約束條件：
1. \(25x + 60y \leq 5400\) → \(5x + 12y \leq 1080\)
2. \(\frac{x}{2} + y \leq 100\) → \(x + 2y \leq 200\)
3. \(x \geq 0, y \geq 0\)
交點：
- \(x+2y=200\) 與 \(5x+12y=1080\) 解聯立：\(5(200-2y)+12y=1080\) → \(1000-10y+12y=1080\) → \(2y=80\) → \(y=40\), \(x=120\)
- \(x+2y=200\) 與 \(x=0\)：\(y=100\)
- \(5x+12y=1080\) 與 \(y=0\)：\(x=216\)
可行解區域為四邊形頂點 \((0,0)\), \((0,90)\), \((120,40)\), \((200,0)\) 的凸多邊形區域。

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108指考數學乙試題-非選擇二(3)

(3) 此運輸公司應訂購重機、汽車各多少部才能獲得最大的淨利潤？此最大淨利潤為何？

[非選擇題]

答案

頂點檢驗法：
1. \((0,0)\)：\(P=0\)
2. \((0,90)\)：\(P=2.3\times 0+5\times 90=450\)
3. \((120,40)\)：\(P=2.3\times 120+5\times 40=276+200=476\)
4. \((200,0)\)：\(P=2.3\times 200+5\times 0=460\)
最大利潤在 \((120,40)\)，即重機 120 部，汽車 40 部，最大淨利潤 476 萬元。
答案為重機 120 部，汽車 40 部，最大淨利潤 476 萬元。

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