便利商店因週年慶而提供折扣優惠，只要消費滿99元就可從紙盒中隨機抽球來決定該筆消費的折扣數（每顆球被抽到的機率相等）。店家已在盒中放了9顆球，其中寫著6折和7折的各有1顆、9折2顆、95折5顆。令隨機變數 \( X \) 代表消費100元的顧客在折扣後需要付的金額（元），若店家想再加入一球使得 \( X \) 的期望值等於86元，則新加入的那顆球上面所寫的折扣數應為下列哪一個選項？
(1) 65折
(2) 75折
(3) 8折
(4) 85折
(5) 9折
答案
109指考數乙(補考)
109指考數學乙(補考)試題-02
在坐標平面上，\( O \) 為原點，考慮直線 \( L_1: 5x+3y=5 \) 與直線 \( L_2: 3x+2y=6-2a \)，其中 \( a \) 為實數。若直線 \( L: 2x+y=3 \) 分別與直線 \( L_1 \) 及直線 \( L_2 \) 交於點 \( A \) 及點 \( B \)，則三角形 \( OAB \) 的面積為下列哪一個選項？
(1) \( \frac{1}{2} |a-2| \)
(2) \( |a-2| \)
(3) \( 2|a-2| \)
(4) \( 3|a-2| \)
(5) \( 6|a-2| \)
答案
求A點：解 \( \begin{cases} 5x+3y=5 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=4 \)，\( y=-5 \)，故 \( A(4,-5) \)
求B點：解 \( \begin{cases} 3x+2y=6-2a \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=2a \)，\( y=3-4a \)，故 \( B(2a,3-4a) \)
三角形OAB面積 = \( \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |4(3-4a) - 2a(-5)| = \frac{1}{2} |12-16a+10a| = \frac{1}{2} |12-6a| = 3|2-a| = 3|a-2| \)
答案：(4)
109指考數學乙(補考)試題-03
下列矩陣中，試選出矩陣乘法有意義且等式正確的選項。（註：選項中的[-1]與[-5]皆為一階方陣）
(1) \( [1 \quad 2][-1]=[-1 \quad -2] \)
(2) \( [-1][1 \quad 2]=[\begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix}] \)
(3) \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}[5 \quad 6]=[17 \quad 39] \)
(4) \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}[-1 \quad -2]=[-5] \)
(5) \( [-1 \quad 1]\begin{bmatrix} 1 & 109 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=[-1 \quad -110] \)
答案
(1) \( 1\times2 \) 矩陣乘 \( 1\times1 \) 矩陣，維度不符
(2) \( 1\times1 \) 乘 \( 1\times2 \) 得 \( 1\times2 \)，但結果寫成 \( 2\times1 \)，錯誤
(3) \( 2\times2 \) 乘 \( 1\times2 \)，維度不符
(4) \( 2\times1 \) 乘 \( 1\times2 \) 得 \( 2\times2 \)，但結果寫成 \( 1\times1 \)，錯誤
(5) \( 1\times2 \) 乘 \( 2\times2 \) 得 \( 1\times2 \)，計算：\( [-1\times1+1\times0, -1\times109+1\times(-1)] = [-1, -110] \)，正確
答案：(5)
109指考數學乙(補考)試題-04
坐標平面上，設 \( a, b \) 為實數，已知目標函數 \( ax + by \) 在平面區域 \(\Omega\)：\(\begin{cases} 4x + y \leq 16 \\ -2x + 3y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)的最大值為12，且取得最大值的點不在坐標軸上。試選出正確的選項。
(1) \( 4a + 3b = 12 \)
(2) \( -\frac{a}{b} > -3 \)
(3) \( -\frac{a}{b} < \frac{2}{3} \)
(4) \( b \)可能為\(-3\)
(5) \( b \)可能為\( 1 \)
答案
\begin{align*}
&\boxed{【頂點法】} \\
&因為最大值必發生在頂點，我們將可行解區的頂點代入目標函數： \\
\\
&\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
(x, y) & (0, 2) & (3, 4) & (4, 0) & (0, 0) \\
\hline
ax + by & 2b & 3a + 4b & 4a & 0 \\
\hline
\end{array} \\
\\
&依題意，取得最大值的點為(3,4)，故 \ 3a + 4b = 12 \，且： \\
&\begin{cases}
3a + 4b = 12 > 2b \\
3a + 4b = 12 > 4a \\
3a + 4b = 12 > 0
\end{cases} \implies \begin{cases}
b < 6 \\
a < 3
\end{cases} \\
\\
&我們都可以將 \ a \ 用 \ 3a + 4b = 12 \ 代換：\ a = 4 - \frac{4b}{3}，故： \\
&a < 3 \implies 4 - \frac{4b}{3} < 3 \implies b > \frac{3}{4} \\
\\
&(1) \ 由上知 \ 3a + 4b = 12 \ ； \\
\\
&(2)(3)(4)(5)： \\
&-\frac{a}{b} = -\frac{4 - \frac{4b}{3}}{b} = -\frac{4}{b} + \frac{4}{3}，而 \ \frac{3}{4} < b < 6，所以： \\
&-\frac{16}{3} < -\frac{4}{b} < -\frac{2}{3} \implies -4 < -\frac{4}{b} + \frac{4}{3} < \frac{2}{3}，故 \ -4 < -\frac{a}{b} < \frac{2}{3}，因此(2)錯誤，(3)正確； \\
\\
&並得到 \ \frac{3}{4} < b < 6，所以(4)錯誤，(5)正確。
\end{align*}
109指考數學乙(補考)試題-05
當我們打電話到大公司時，電話會透過公司的交換機轉接到所接的號碼或分機，這個時候就會有等待接通的時間。實際測試發現，如果等待時間小於或等於0.8秒，打電話的人會完全沒有等待的感覺（可稱為無感等待），但如果等待時間大於或等於1.5秒，打電話的人就會感覺不耐煩（可稱為不耐等待）。某公司交換機的等待時間與相對次數如下圖。圖中最短等待時間為0.1秒，最長的等待時間為2.0秒，等待時間皆以0.1秒單位計，圖中的黑點代表該等待時間的相對次數，如：等待時間為1.1秒的相對次數為12%。根據上述資訊，試選出正確的選項。
(1) 無感等待所占比例較不耐等待高
(2) 無感等待所占比例達三分之一以上
(3) 發生不耐等待的比例達10%以上
(4) 等待時間不到1.0秒所占比例達一半以上
(5) 等待時間既非無感等待，也未發生不耐等待所占比例達一半以上
109指考數學乙(補考)試題-06
某甲在坐標平面上點 (3,4) 的位置，撇一均勻銅板，若出現正面，則以向量 (1,-1) 的方向與大小移動；若出現反面，則以向量 (-1,-1) 的方向與大小移動。到達新位置之後，重複同樣的步驟，直到抵達 x 軸或 y 軸時停止。試選出正確的選項。
(1) 甲可能到達點 (0,0)
(2) 若甲停在 y 軸，則甲恰好移動 4 次
(3) 甲最後停在 y 軸的機率大於停在 x 軸的機率
(4) 甲最後停在點 (2,0) 的機率為 0
(5) 甲最後停在點 (1,0) 與停在點 (5,0) 的機率相等
109指考數學乙(補考)試題-_A
若 \( f(x) \) 為二次的實係數多項式函數，且滿足 \( f(0)+f(1)=5 \)，\( f(1)+f(2)=17 \)，\( f(2)+f(0)=14 \)，則 \( f(x)=\underline{\quad }x^2+\underline{\quad }x+9 \)
[選填題]
答案
\begin{align*}
&設 \ f(x) = ax^2 + bx + c，則： \\
&f(0) = c，\quad f(1) = a + b + c，\quad f(2) = 4a + 2b + c \\
\\
&將題目的條件代入，得聯立方程組： \\
&\begin{cases}
a + b + 2c = 5 \\
5a + 3b + 2c = 17 \\
4a + b + 2c = 14
\end{cases} \\
\\
&解此方程組，得 \ a = 3，\ b = 0，\ c = 1，故 \ f(x) = 3x^2 + 1。
\end{align*}
109指考數學乙(補考)試題-_B
坐標平面上有不共線的三點 \( A,B,C \) 且點 \( P \) 在線段 \( BC \) 上，並令 \( AP=xAB+yAC \)。若 \( BP=\frac{1}{2}CP \)，則 \( x \) 的值為 \(\underline{\quad }\)，\( y \) 的值為 \(\underline{\quad }\)。（化為最簡分數）
[選填題]
答案
109指考數學乙(補考)試題-_C
某實驗室有輻射外洩，危害附近環境。根據調查：該輻射第一天汙染區域是一個以實驗室為中心，半徑2公里的圓形區域，
如圖中最內圓的圓內區域。第二天與第三天汙染區域逐漸擴大，都是以實驗室為中心，但汙染半徑越來越大的圓形區域，如圖中第二個與第三個同心圓的圓內區域。已知輻射每天汙染區域依照上述同心圓的模式向外擴大區域，而且新增汙染區域之面積都是前一天新增汙染區域面積的 \( \frac{5}{7} \) 倍，在汙染一直持續下去的條件下，全部汙染區域會趨近於半徑為__________公里的圓形區域。
答案
第一天新增面積：\( \pi(2)^2=4\pi \)
第二天新增面積：\( 4\pi\times\frac{5}{7} \)
第三天新增面積：\( 4\pi\times(\frac{5}{7})^2 \)
總面積 = \( 4\pi[1+\frac{5}{7}+(\frac{5}{7})^2+\cdots] = 4\pi\times\frac{1}{1-\frac{5}{7}} = 4\pi\times\frac{7}{2} = 14\pi \)
設半徑為 \( R \)，則 \( \pi R^2=14\pi \) ⇒ \( R=\sqrt{14} \)
答案：\( \sqrt{14} \)
109指考數學乙(補考)試題-_D
在所有滿足不等式 \( |4-3x|<11 \) 的整數中，選取三相異整數（不計順序），而所選取的三數之中位數大於或等於該三數之平均數的選法有__________ 種。
[選填題]
答案
\begin{align*}
&解不等式 \ |4 - 3x| < 11： \\
&|4 - 3x| < 11 \iff -11 < 4 - 3x < 11 \iff -\frac{7}{3} < x < 5，\\
&滿足條件的整數為：-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4。 \\
\\
&設選取的數（由小到大）為 \ a,b,c \（b為中位數），列舉所有可能組合： \\
&\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
b & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
a & -2 & -2,-1 & -2,-1,0 & -2,-1,0,1 & -2,-1,0,1,2 \\
\hline
c & 0 & 1,2 & 2,3,4 & 3,4 & 4 \\
\hline
組數 & 1 & 2 & 6 & 10 & 3 \\
\hline
\end{array} \\
\\
&合計共 \ 1+2+6+10+3=22 \ 種可能。
\end{align*}