一. 據說，「六人國」是因為200年前該國僅有6個人而得名。人口學家估算：過去200年來，已知該國人口數以平均年成長率為 \( \frac{1}{16} \) 的速率增加，即平均每年增加的人口數為前一年總人口數的 \( \frac{1}{16} \)。利用參考數據：\( \log 2 \approx 0.3010, \log 3 \approx 0.4771 \)，試回答下列問題。
(1) 已知連續兩年中，第一年「六人國」的人口數為 \( a \)，第二年的人口數為 \( ka \)，試求 \( k \) 的值。
一、(2) 利用 \( \log 16 \) 與 \( \log 18 \) 的近似值，以內差法求 \( \log 17 \) 的近似值。（計算至小數點後第四位）
[非選擇題]一、(3) 已知「六人國」現在的人口數很接近 \( 10^n \)（其中 \( n \) 為正整數），試求正整數 \( n \) 的值。
[非選擇題]初始6人，經過200年，人口數 = \( 6\times(\frac{17}{16})^{200} \)
取對數：\( \log[6\times(\frac{17}{16})^{200}] = \log 6 + 200\log\frac{17}{16} \)
\( \log 6=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781 \)
\( \log\frac{17}{16}=\log 17-\log 16=1.2296-1.2040=0.0256 \)
總和 = \( 0.7781+200\times0.0256=0.7781+5.12=5.8981 \)
故 \( n=6 \)
答案：6
二. 等比數列 \( \langle a_n \rangle \) 的前三項可表為 \(\begin{cases} a_1 = x^2 + x + 3 \\ a_2 = 2x + 2 \\ a_3 = x + 2 \end{cases}\)，其中 \( x \) 為實數。試回答下列問題。
(1) 試求 \( x \) 的所有可能值。
$\begin{align*}
&(1) \ 因為\{a_n\}是等比數列，故\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}，代入得： \\
&\frac{2x+2}{x^2+x+3}=\frac{x+2}{2x+2} \implies (x+2)(x^2+x+3)=(2x+2)^2 \\
&\implies x^3 + 3x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 8x + 4 \implies x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0 \\
\\
&用牛頓有理根檢驗法，可能有理根為\pm1,\pm2，代入得x=2是根，因式分解為： \\
&(x-2)(x^2+x-1)=0 \implies 解為 \ x=2,\ \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}$
二、(2) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 的每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]二、(3) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 並不是每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]$\begin{align*}
&(3) \ 因a_3不是有理數，故x非有理數，得x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}； \\
\\
&① 當x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}； \\
&② 當x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{1-\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}； \\
\end{align*}$
