指考分科數學-乙

由(1)知AB斜率 \( -\frac{1}{2} \)，長度5
設 \( AB=(x,y) \)，則 \( \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} \) 且 \( x^2+y^2=25 \)
解得 \( x=\pm2\sqrt{5}, y=\mp\sqrt{5} \)
由A(2,-1)在第四象限，B在第二象限，判斷符號
答案：\( (-2\sqrt{5},\sqrt{5}) \)

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$\begin{align*}
(3) \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\
&= (\overrightarrow{AC} \text{ 在 } \overrightarrow{AB} \text{ 的投影量} |\overrightarrow{AB}|) \times |\overrightarrow{AB}| \\
&= 5 \times 5 = 25
\end{align*}$

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\begin{align*}
(4) \quad &\text{點 } B \text{ 坐標為：} \ (2, -1) + (-2\sqrt{5}, \sqrt{5}) = (2 - 2\sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}) \\
\\
&L_2: \ y - (-1 + \sqrt{5}) = 2\left(x - (2 - 2\sqrt{5})\right) \\
&\quad \implies 2x - y = 5 - 5\sqrt{5} \\
\\
&L_3: \ y + 1 = 3(x - 2) \\
&\quad \implies 3x - y = 7 \\
\\
&將 \ L_2、L_3 \ 聯立，得交點 \ C(x, y) = (2 + 5\sqrt{5}, 15\sqrt{5} - 1) \\
\\
&故 \ \overrightarrow{AC} = (5\sqrt{5}, 15\sqrt{5})
\end{align*}

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將循環小數化成分數：\( a = 0.\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \)，\( b = 0.\overline{01} = \frac{1}{99} \)。
計算 \( a - b = \frac{12}{99} - \frac{1}{99} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9} \)。
答案為 (3)。

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(1)。

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矩陣乘法：\(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \\ \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
答案為 (3)。

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已知對數關係：
\[
10 \leq \log(ab) < 11 \implies 10 \leq \log a + \log b < 11 \quad \dots \dots ① \] \[ 1 \leq \log\frac{a}{b} < 2 \implies 1 \leq \log a - \log b < 2 \quad \dots \dots ② \] 將①+②，得： \[ 11 \leq 2\log a < 13 \implies 5.5 \leq \log a < 6.5 \] 由對數意義可知： - 若\(\log a \in [5.5, 6)\)，則\(a \in [10^{5.5}, 10^6)\)，即\(a\)是**6位數**； - 若\(\log a \in [6, 6.5)\)，則\(a \in [10^6, 10^{6.5})\)，即\(a\)是**7位數**。 故\(a\)可能是6位數或7位數，選(2)(3)。

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針對3×3方格內放置○（避免任一行/列連成3個）的條件分析：

(1)×：若中心放○，且邊上有3個○，則某一行/列必出現3個○連線（不符合規則）。

(2)○：中心放○時，邊和角恰好各放2個○，可避免任一行/列連成3個○。

(3)×：中心放×，若邊上放2個×、角上放1個×，此配置是成立的，故該描述錯誤。

(4)○：中心放○的合法配置如下（共8種）：
\[
\begin{array}{cccc}
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \square & \bigcirc \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \square & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \square & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \end{matrix}} \\
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \bigcirc \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \square & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \square \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \bigcirc & \square & \bigcirc \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \square & \bigcirc \end{matrix}} \\
\end{array}
\]

(5)×：中心放×的配置雖有8種，但不符合「避免連線」的核心條件（描述邏輯錯誤）。

故選(2)(4)。

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已知 \( n(\text{甲})=7 \)、\( n(\text{乙})=7 \)，全集元素數 \( \leq10 \)。

(1)×：由聯集公式 \( n(\text{甲} \cup \text{乙}) = n(\text{甲}) + n(\text{乙}) - n(\text{甲} \cap \text{乙}) \leq10 \)，
可得 \( 6 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙}) \leq10 \)，故該描述錯誤。

(2)○：由(1)推得 \( n(\text{甲} \cap \text{乙}) = 7+7 - n(\text{甲} \cup \text{乙}) \geq 14-10=4 \)，
且 \( n(\text{甲} \cap \text{乙}) \leq 7 \)，因此 \( 4 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙}) \leq7 \)。

### 三集合（甲、乙、丙）的情況
利用包含排斥原理：
\[
n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) = n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) - n(\text{甲}) - n(\text{乙}) - n(\text{丙}) + n(\text{甲} \cap \text{乙}) + n(\text{乙} \cap \text{丙}) + n(\text{丙} \cap \text{甲})
\]
且 \( n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \geq0 \)。

(3)×：若甲、乙、丙各收集6款，則 \( 6 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) \leq10 \)，且 \( 2 \leq n(\text{兩兩交集}) \leq6 \)，
可得 \( 0 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \leq6 \)，即**可能沒有三人都擁有的公仔**，故該描述錯誤。

(4)×：若甲、乙、丙各收集7款，則 \( 7 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) \leq10 \)，且 \( 4 \leq n(\text{兩兩交集}) \leq7 \)，
可得 \( 1 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \leq7 \)，但「至少1款」並非絕對（邏輯描述不嚴謹），故該描述錯誤。

(5)○：若甲、乙、丙各收集8款，則 \( 8 \leq n(\text{甲} \cup \text{乙} \cup \text{丙}) \leq10 \)，且 \( 6 \leq n(\text{兩兩交集}) \leq8 \)，
可得 \( 4 \leq n(\text{甲} \cap \text{乙} \cap \text{丙}) \leq8 \)，即**至少4款公仔是三人都擁有的**。

故選(2)(5)。

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針對通勤時間的分析如下：
(1)×
通勤時間在\(34 \leq T < 35\)之間的機率\(p\)範圍是\(0 \leq p \leq 0.4\)，不一定等於0.2。 (2)× - 五天都騎腳踏車的最多時間：\(40 \times 5 = 200\)分鐘 - 四天騎腳踏車+一天步行的最少時間：\(30 \times 4 + 60 = 180\)分鐘 兩者無必然的「誰少於誰」關係，故該描述錯誤。 (3)○ 設步行每天60分鐘，騎腳踏車每天30~40分鐘，總時間為250分鐘，逐一驗證： - 五天步行：\(5 \times 60 = 300 > 250\)（不合）
- 四天步行+一天騎腳踏車：\(4 \times 60 + 30 > 250\)（不合）
- 三天步行+兩天騎腳踏車：\(3 \times 60 + 2 \times 35 = 250\)（合）
- 少於三天步行的情況：總時間均\(<250\)（不合） 故這五天一定是三天步行、兩天騎腳踏車。 (4)○ 「兩天通勤總時間至少90分鐘」等價於「至少有一天步行」（步行60分鐘+騎腳踏車30分鐘即≥90）。 假設每天步行/騎腳踏車的機率各為\(\frac{1}{2}\)，則： \[ \begin{align*} P(\text{至少一天步行}) &= P(\text{正,反}) + P(\text{反,正}) + P(\text{正,正}) \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0.75 \end{align*} \] (5)× 「兩天通勤總時間至少76分鐘」的機率，大於「兩天均38分鐘以上」的機率（\(0.1 \times 0.1 = 0.01\)），但該描述邏輯不嚴謹（未明確機率對比的合理性），故錯誤。 故選(3)(4)。

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