109指考數乙

設 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)，觀察矩陣冪次規律：
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^5 = A^4 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)，故答案為(5)。

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分三種情況計算組合數：
① 當\((A, B, C) = (\text{甲乙}+1, 3, 2)\)時，組合數為：
\[
\mathrm{C}_6^1 \times \mathrm{C}_5^3 \times \mathrm{C}_2^2 = 6 \times 10 \times 1 = 60 \ (\text{種})
\]

② 當\((A, B, C) = (3, \text{甲乙}+1, 2)\)時，與①對稱，組合數同為：
\[
60 \ (\text{種})
\]

③ 當\((A, B, C) = (3, 3, \text{甲乙})\)時，組合數為：
\[
\mathrm{C}_3^3 \times \mathrm{C}_3^3 = 1 \times 1 \times 20？ 修正：此處對應\(\mathrm{C}_6^3 \times \mathrm{C}_3^3 = 20 \times 1 = 20 \ (\text{種})\)

合計所有情況：\(60 + 60 + 20 = 140\)（種）

故選(1)。

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針對函數\( y = f(x) \)的性質與方程實根分析如下：
### (1)×
\( f(x) \)可能是開口向上的二次函數（此時\( f(0) \)可正），也可能是開口向下的二次函數（此時\( f(0) \)可負），因此\( f(0) \)不一定大於0。

### (2)○
二次函數在全定義域內的函數值符號恆定（開口向上則恆非負，開口向下則恆非正），故\( f(1) \)與\( f(2) \)必同號，因此\( f(1)f(2) > 0 \)。

### (3)○
- 方程\( f(x) - 2 = 0 \)等價於\( f(x) = 2 \)；
- 二次函數的值域為「開口向上時，≥頂點縱坐標；開口向下時，≤頂點縱坐標」。若2屬於\( f(x) \)的值域且不等於頂點縱坐標，則方程有2個實根。

### (4)○
若\( \frac{1}{2} \)不屬於\( f(x) \)的值域（例如開口向上的二次函數，頂點縱坐標大於\( \frac{1}{2} \)），則\( f(x) = \frac{1}{2} \)無解，即\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)沒有實根。

### (5)×
\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)的實根個數取決於\( \frac{1}{2} \)與\( f(x) \)值域的關係：
- 若\( \frac{1}{2} \)不在值域內：0個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)等於頂點縱坐標：1個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)在值域內且不等於頂點縱坐標：2個實根。
因此實根個數不固定。

故選(2)(3)(4)。

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針對數列\(\{a_n\}\)的性質分析如下：
(1)×
取數列項：
- 奇數項：\(a_1=3\)，\(a_3=3 \times \frac{1}{3}=1\)，\(a_5=1 \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
- 偶數項：\(a_2=2\)，\(a_4=2 \times \frac{1}{2}=1\)，\(a_6=1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
但\(a_5=\frac{1}{3} < a_6=\frac{1}{2}\)，故該描述錯誤。 (2)○ 計算指定項： \[ a_{10}=2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{8}, \quad a_{11}=3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{81} \] 因此： \[ \frac{a_{10}}{a_{11}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{81}} = \frac{81}{8} > 10
\]
(3)○
分奇偶項分析極限：
① 當\(n\)為奇數時，\(a_n=3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n-1}{2}} = 3^{\frac{3-n}{2}}\)，
當\(n \to \infty\)時，\(3^{\frac{3-n}{2}} \to 0\)；

② 當\(n\)為偶數時，\(a_n=2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} = 2^{\frac{4-n}{2}}\)，
當\(n \to \infty\)時，\(2^{\frac{4-n}{2}} \to 0\)。

故\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。
(4)×
分奇偶項分析\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的極限：
- 當\(n\)為奇數時，\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{n-3}{2}}\)，當\(n \to \infty\)時發散；
- 當\(n\)為偶數時，\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{n-2}{2}}\)，當\(n \to \infty\)時趨於0。

因\(n\)為奇、偶時極限不同，故\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)不存在。
(5)×
計算無窮級數和：
\[
\sum_{n=1}^\infty a_n = \left(a_1+a_3+a_5+\dots\right) + \left(a_2+a_4+a_6+\dots\right) = \frac{3}{1-\frac{1}{3}} + \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = 4.5 + 4 = 8.5 < 9 \] 故\(\sum_{n=1}^{100} a_n < \sum_{n=1}^\infty a_n = 8.5 < 9\)，描述錯誤。 故選(2)(3)。

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針對擲骰子對應移動規則的機率分析如下：
已知骰子點數（1~6）對應移動值：
| 點數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|------|---|---|---|---|---|---|
| 移動 | 0 | +1 | -2 | +2 | -4 | +3 |

### (1)×
符合某條件的情況數為2，總情況數為6，故機率\( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)，描述錯誤。

### (2)○
計算移動的期望值：
\[
\begin{align*}
\text{期望值} &= 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + (-4) \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} \\
&= \frac{0 + 1 - 2 + 2 - 4 + 3}{6} = 0
\end{align*}
\]

### (3)×
移動值的可能範圍是\(-4, -2, 0, 1, 2, 3\)，無法得到\(-5\)，故描述錯誤。

### (4)○
① 點數和為奇數，等價於「點數一奇一偶」，情況數為\((3 \times 3) \times 2 = 18\)種；
② 點數一奇一偶且坐標為正的情況：
奇數點數（1,3,5）對應移動值\(0, -2, -4\)，偶數點數（2,4,6）對應移動值\(1,2,3\)，符合「坐標為正」的組合共4×2=8種。

因此條件機率為：
\[
\frac{8}{18} = \frac{4}{9}
\]

### (5)×
擲骰子三次後棋子在原點的情況，對應三次移動值之和為0，但計算的機率表達式邏輯混亂（如重複計數、符號錯誤），故描述錯誤。

故選(2)(4)。

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設 \( P(X=k)=c\cdot\frac{1}{k} \)
總機率：\( c(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=c\times\frac{25}{12}=1 \) ⇒ \( c=\frac{12}{25} \)
\( P(X=3)=\frac{12}{25}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{25} \)
答案：\( \frac{4}{25} \)

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設經理、秘書、業務薪資分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，全公司薪資總額\(T = a + b + c\)。

由條件：
- \(b \times 10\% = T \times 3\% \implies b = \frac{3}{10}T\)
- \(c \times 20\% = T \times 4\% \implies c = \frac{1}{5}T\)

因此經理薪資：
\[
a = T - \frac{3}{10}T - \frac{1}{5}T = \frac{1}{2}T
\]

若僅經理減薪15%，全公司薪資總支出減少比例為：
\[
\frac{\frac{1}{2}T \times 15\%}{T} = 7.5\%
\]

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