一. 據說，「六人國」是因為200年前該國僅有6個人而得名。人口學家估算：過去200年來，已知該國人口數以平均年成長率為 \( \frac{1}{16} \) 的速率增加，即平均每年增加的人口數為前一年總人口數的 \( \frac{1}{16} \)。利用參考數據：\( \log 2 \approx 0.3010, \log 3 \approx 0.4771 \)，試回答下列問題。
(1) 已知連續兩年中，第一年「六人國」的人口數為 \( a \)，第二年的人口數為 \( ka \)，試求 \( k \) 的值。
一、(2) 利用 \( \log 16 \) 與 \( \log 18 \) 的近似值，以內差法求 \( \log 17 \) 的近似值。（計算至小數點後第四位）
[非選擇題]一、(3) 已知「六人國」現在的人口數很接近 \( 10^n \)（其中 \( n \) 為正整數），試求正整數 \( n \) 的值。
[非選擇題]初始6人，經過200年，人口數 = \( 6\times(\frac{17}{16})^{200} \)
取對數：\( \log[6\times(\frac{17}{16})^{200}] = \log 6 + 200\log\frac{17}{16} \)
\( \log 6=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781 \)
\( \log\frac{17}{16}=\log 17-\log 16=1.2296-1.2040=0.0256 \)
總和 = \( 0.7781+200\times0.0256=0.7781+5.12=5.8981 \)
故 \( n=6 \)
答案：6
二. 等比數列 \( \langle a_n \rangle \) 的前三項可表為 \(\begin{cases} a_1 = x^2 + x + 3 \\ a_2 = 2x + 2 \\ a_3 = x + 2 \end{cases}\)，其中 \( x \) 為實數。試回答下列問題。
(1) 試求 \( x \) 的所有可能值。
$\begin{align*}
&(1) \ 因為\{a_n\}是等比數列，故\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}，代入得： \\
&\frac{2x+2}{x^2+x+3}=\frac{x+2}{2x+2} \implies (x+2)(x^2+x+3)=(2x+2)^2 \\
&\implies x^3 + 3x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 8x + 4 \implies x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0 \\
\\
&用牛頓有理根檢驗法，可能有理根為\pm1,\pm2，代入得x=2是根，因式分解為： \\
&(x-2)(x^2+x-1)=0 \implies 解為 \ x=2,\ \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}$
二、(2) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 的每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]二、(3) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 並不是每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]$\begin{align*}
&(3) \ 因a_3不是有理數，故x非有理數，得x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}； \\
\\
&① 當x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}； \\
&② 當x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{1-\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}； \\
\end{align*}$
矩陣 \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^5\) 與下列哪一個矩陣相等？
(1) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}\)
設 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)，觀察矩陣冪次規律：
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^5 = A^4 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)，故答案為(5)。
某畢業班由8位同學負責畢旅規劃，分成A、B、C三組，且三組分別由3人、3人、2人組成。8位同學每人都會被分配到其中一組，且甲、乙兩位同學一定要在同一組。這8位同學總共有幾種分組方式？
(1) 140種
(2) 150種
(3) 160種
(4) 170種
(5) 180種
分三種情況計算組合數：
① 當\((A, B, C) = (\text{甲乙}+1, 3, 2)\)時，組合數為：
\[
\mathrm{C}_6^1 \times \mathrm{C}_5^3 \times \mathrm{C}_2^2 = 6 \times 10 \times 1 = 60 \ (\text{種})
\]
② 當\((A, B, C) = (3, \text{甲乙}+1, 2)\)時，與①對稱，組合數同為：
\[
60 \ (\text{種})
\]
③ 當\((A, B, C) = (3, 3, \text{甲乙})\)時，組合數為：
\[
\mathrm{C}_3^3 \times \mathrm{C}_3^3 = 1 \times 1 \times 20？ 修正：此處對應\(\mathrm{C}_6^3 \times \mathrm{C}_3^3 = 20 \times 1 = 20 \ (\text{種})\)
合計所有情況：\(60 + 60 + 20 = 140\)（種）
故選(1)。
為了瞭解IQ和腦容量是否有關，一項小型研究利用核磁共振測量了5個人的腦容量（以10,000像素為單位），連同他們的IQ列表如下：
已知上表中的X之平均值為 \( \mu_x=94 \)，Y之平均值為 \( \mu_y=97 \)，腦容量(X)與IQ(Y)的相關係數為 \( r_{x,y} \)。根據上述表格，試判斷 \( r_{x,y} \) 的值最可能是下列哪一個選項？
(1) \( r_{x,y} \leq -1 \)
(2) \( -1< r_{x,y} <-0.5 \)
(3) \( r_{x,y} = 0 \)
(4) \( 0 < r_{x,y} < 0.5 \)
(5) \( r_{x,y} \geq 1 \)
設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式函數且 \( f(x)=0 \) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \( f(0) \gt 0 \)
(2) \( f(1)f(2) \gt 0 \)
(3) 若 \( f(x)-1=0 \) 有實根，則 \( f(x)-2=0 \) 有實根
(4) 若 \( f(x)-1=0 \) 有重根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 沒有實根
(5) 若 \( f(x)-1=0 \) 有兩相異實根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 有實根
針對函數\( y = f(x) \)的性質與方程實根分析如下：
### (1)×
\( f(x) \)可能是開口向上的二次函數（此時\( f(0) \)可正），也可能是開口向下的二次函數（此時\( f(0) \)可負），因此\( f(0) \)不一定大於0。
### (2)○
二次函數在全定義域內的函數值符號恆定（開口向上則恆非負，開口向下則恆非正），故\( f(1) \)與\( f(2) \)必同號，因此\( f(1)f(2) > 0 \)。
### (3)○
- 方程\( f(x) - 2 = 0 \)等價於\( f(x) = 2 \)；
- 二次函數的值域為「開口向上時，≥頂點縱坐標；開口向下時，≤頂點縱坐標」。若2屬於\( f(x) \)的值域且不等於頂點縱坐標，則方程有2個實根。
### (4)○
若\( \frac{1}{2} \)不屬於\( f(x) \)的值域（例如開口向上的二次函數，頂點縱坐標大於\( \frac{1}{2} \)），則\( f(x) = \frac{1}{2} \)無解，即\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)沒有實根。
### (5)×
\( f(x) - \frac{1}{2} = 0 \)的實根個數取決於\( \frac{1}{2} \)與\( f(x) \)值域的關係：
- 若\( \frac{1}{2} \)不在值域內：0個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)等於頂點縱坐標：1個實根；
- 若\( \frac{1}{2} \)在值域內且不等於頂點縱坐標：2個實根。
因此實根個數不固定。
故選(2)(3)(4)。
