下列哪一個選項是方程式 \( 7x^5 – 2x^4 + 14x^3 – 4x^2 + 7x – 2 = 0 \) 的根？
(1) \(-1\)
(2) \(\frac{1}{7}\)
(3) \(\frac{1}{7}\)
(4) \(\frac{2}{7}\)
(5) \(\frac{-2}{7}\)
105指考數乙
105指考數學乙試題-02
考慮有理數 \(\frac{n}{m}\)，其中 \( m \)、\( n \) 為正整數且 \( 1 \leq mn \leq 8 \)。則這樣的數值（例如 \(\frac{1}{2} \)與 \(\frac{2}{4} \)同值，只算一個）共有幾個？
(1) 14個
(2) 15個
(3) 16個
(4) 17個
(5) 18個
答案
列出所有 \(m, n\) 正整數且 \(mn \leq 8\)，化為最簡分數後去重複：
\(m=1\)：\(n=1,\dots,8\) → 1,2,3,4,5,6,7,8
\(m=2\)：\(n=1,\dots,4\) → 1/2, 1, 3/2, 2 (去重複後得 1/2, 3/2)
\(m=3\)：\(n=1,2\) → 1/3, 2/3
\(m=4\)：\(n=1,2\) → 1/4, 1/2(重複), 2/4=1/2(重複) → 得 1/4
\(m=5\)：\(n=1\) → 1/5
\(m=6\)：\(n=1\) → 1/6
\(m=7\)：\(n=1\) → 1/7
\(m=8\)：\(n=1\) → 1/8
總共：8 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 個。
答案為 (4)。
105指考數學乙試題-03
坐標平面上有兩向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10) \)，\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)。請問下列哪一個向量的長度最大？
(1) \(-3 \overset{\rightharpoonup}{u}\)
(2) \(6 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(3) \(-2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(4) \(2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(5) \(\overset{\rightharpoonup}{u} + 7 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
105指考數學乙試題-04
設\(f(x)\)為一未知的實係數多項式，但知道\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)^2\)的餘式為\(5x^2+6x+7\)。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
(1) 可求出\(f(0)\)之值
(2) 可求出\(f(1)\)之值
(3) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)^2\)的餘式
(4) 可求出\(f(x)\)除以\((x-6)^2\)的餘式
(5) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)\)的餘式
105指考數學乙試題-05
甲先生、乙先生、丙先生、丁先生四位男士以及A小姐、B小姐、C小姐、D小姐四位女士想要混搭兩部計程車，每車載有四名乘客。已知：
（一）甲先生與A小姐同車
（二）乙先生與B小姐同車
（三）C小姐與D小姐不同車
請選出正確的選項。
(1) A小姐與D小姐必不同車
(2) 甲先生與B小姐必不同車
(3) 乙先生與丙先生必同車
(4) 如果乙先生與丁先生同車，則丙先生與B小姐必同車
(5) 如果D小姐與乙先生同車，則C小姐與A小姐必同車
答案
用推理：設兩車為車1、車2。
由(1)甲A同車，(2)乙B同車，(3)C,D不同車。
(1) A與D不一定不同車，可能同車，錯誤。
(2) 甲與B：若甲與B同車，則該車有甲,A,B，另一車有乙,B? 矛盾，因為B只能在一車，所以甲與B必不同車，正確。
(3) 乙與丙不一定同車，錯誤。
(4) 若乙與丁同車，則該車有乙,B,丁，另一車有甲,A,C/D。若丙在乙車則4人滿；若丙在甲車，則甲車有甲,A,丙,C/D，則B車有乙,B,丁,? 必須是C或D，但C,D不同車，所以若B車有C，則甲車有D；若B車有D，則甲車有C。此時丙在甲車，與B小姐不同車。所以(4)不一定成立，錯誤。
(5) 若D與乙同車，則乙車有乙,B,D，另一車有甲,A,C（因C,D不同車）。所以C與A同車，正確。
答案為 (2)(5)。
105指考數學乙試題-06
設 \( a = 10^{1 – \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} \)。請選出正確的選項。
(1) \( 1 \lt a \)
(2) \( a \lt \sqrt{3} \)
(3) \( a^2 \lt b^{\sqrt{3}} \)
(4) \( 10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5} \)
(5) \((ab)^{\sqrt{2}} \lt 10\)
答案
\( a = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} - 1} \)。
(1) \(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 - 0.707 = 0.293 \gt 0\)，所以 \(a \gt 10^0 = 1\)，正確。
(2) \(a = 10^{0.293} \approx 1.96\)，\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，所以 \(a \gt \sqrt{3}\)，錯誤。
(3) \(a^2 = 10^{2 - \sqrt{2}} \approx 10^{0.586}\)，\(b^{\sqrt{3}} = 10^{(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} = 10^{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \approx 10^{2.449 - 1.732} = 10^{0.717}\)，所以 \(a^2 \lt b^{\sqrt{3}}\)，正確。
(4) \(b = 10^{\sqrt{2}-1} \approx 10^{0.414}\)，\(10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5}\) 成立，正確。
(5) \(ab = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} - 1} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)，\((ab)^{\sqrt{2}} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = 10^1 = 10\)，所以等於10，錯誤。
答案為 (1)(3)(4)。
105指考數學乙試題-07
坐標平面上 \( O \) 為原點，\( P \) 點坐標為 (1,0)，直線 \( L \) 的方程式為 \( x-2y=-4 \)。請選出正確的選項。
(1) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( A \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} \) 平行
(2) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( B \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{OB} \) 垂直
(3) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( C \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{PC} \) 垂直
(4) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( D \)，滿足 \( PD=2 \)
(5) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( E \)，滿足 \( \Delta EOP \) 為等腰三角形
答案
\(L: x-2y=-4 \Rightarrow y=\frac{x+4}{2}\)。
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{OP} = (1,0)\)，平行意味著 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} = k(1,0)\)，即 y=0，代入 L 得 x=-4，A=(-4,0) 在 L 上，正確。
(2) 垂直則內積 0，設 B=(x,(x+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = x = 0\)，得 B=(0,2) 在 L 上，正確。
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\rightharpoonup}{PC} = 0\)，設 C=(t,(t+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OC} = (t,(t+4)/2)\)，\( \overset{\rightharpoonup}{PC} = (t-1,(t+4)/2)\)，內積 \(t(t-1) + \frac{(t+4)^2}{4} = 0\)，化簡得 \(4t^2-4t + t^2+8t+16 = 5t^2+4t+16=0\)，判別式 16-320<0，無實數解，錯誤。
(4) 設 D=(t,(t+4)/2)，\(PD^2 = (t-1)^2 + ((t+4)/2)^2 = 4\)，化簡得 \(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+20=0\)? 檢查：乘4：\(4(t-1)^2 + (t+4)^2 = 4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 4\times 4=16\)? 我算錯。正確：\( (t-1)^2 + \frac{(t+4)^2}{4} = 4\)，乘以4：\(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 16\)，得 \(5t^2= -4\) 無解，錯誤。
(5) 等腰三角形 EOP：可能 EO=EP 或 EO=OP 或 EP=OP。OP=1。設 E=(t,(t+4)/2)，計算 EO 與 EP，可找到解，例如 E=(-4,0) 則 EO=4, EP=5 不等腰；但可找到其他點，例如對稱軸上的點，正確（因為滿足條件的點存在）。
答案為 (1)(2)(5)。
105指考數學乙試題-08
某社區有一千位居民，其個人月所得少於 10,000 元者占 30%，介於 10,000 元及 20,000 元間者占 10%，介於 20,000 元及 40,000 元間者占 30%，介於 40,000 元及 80,000 元間者占 30%。請選出正確的選項。
(1) 該社區個人月所得的中位數介於 20,000 元及 40,000 元間
(2) 使用簡單隨機抽樣自該社區中抽出一位居民，其個人月所得在上述的四個區間中，以介於 10,000 元及 20,000 元間的機率最低
(3) 該社區的個人月所得平均，不可能高過 40,000 元
(4) 該社區的個人月所得平均，不可能低過該社區的個人月所得中位數
(5) 若該社區新搬入一位居民，其月所得為 200,000 元，則該社區的個人月所得平均將增加，但增加量不會多過 200 元
答案
累積人數：<10k:30%，10k~20k:40%，20k~40k:70%，40k~80k:100%。
(1) 中位數在第500人處，落在20k~40k區間，正確。
(2) 10k~20k區間機率10%，其他區間30%或30%，確實最低，正確。
(3) 平均數可能高於40k，因為40k~80k區間可拉高平均，錯誤。
(4) 右偏分布時平均數>中位數，但此資料右偏嗎？40k~80k占30%，可能平均>中位數，所以平均不可能低於中位數？不一定，若左邊數值很低可能平均<中位數？但本題左邊30%<10k，10%在10k~20k，30%在20k~40k，30%在40k~80k，估計平均數約 (5k×30% + 15k×10% + 30k×30% + 60k×30%) = 1.5k + 1.5k + 9k + 18k = 30k，中位數在20k~40k，可能平均>中位數或接近，但「不可能低過」不一定成立，錯誤。
(5) 原平均約30k，總所得30M，新加入200k，總所得30.2M，人數1001，平均約30170，增加約170元 \< 200元，正確。
答案為 (1)(2)(5)。
105指考數學乙試題-稿A
不透明袋中有三顆白球及三顆紅球。從袋中每次取出一球依序置於桌面，每次每顆球被取出的機率相同。全部取出後，前三顆球中有相鄰兩球同為白球的機率為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化為最簡分數）
[選填題]105指考數學乙試題-稿B
設 \( x, c \) 為實數，方陣 \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \)、\( B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} \)。已知 \( A \) 的反方陣恰好是 \( B \) 的 \( c \) 倍（其中 \( c \neq 0 \)），則數對 \((x, c) = (\underline{\qquad},\underline{\qquad})\)。（請化為最簡分數）
[選填題]