〈109指考數乙〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 2 頁

109指考數學乙試題-非選擇一(1)

一. 傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $ P_0 $，且每位已感染者平均一天會傳染給 $ r $ 位未感染者」的前提下，$ n $天後感染到此疾病的總人數 $ P_n $ 可以表示為 $ P_n = P_0(1+r)^n $，其中 $ P_0 \geq 1 $ 且 $ r \gt 0 $。試回答下列問題：
(1) 已知 $ A = \frac{\log P_5 – \log P_2}{3} $, $ B = \frac{\log P_8 – \log P_5}{3} $，試說明 $ A = B $。

[非選擇題]

答案

$ \log P_n = \log P_0 + n\log(1+r) $
$ A = \frac{[\log P_0 + 5\log(1+r)] - [\log P_0 + 2\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) $
$ B = \frac{[\log P_0 + 8\log(1+r)] - [\log P_0 + 5\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) $
故 $ A = B $
答案：得證

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109指考數學乙試題-非選擇一(2)

一、(2) 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔16天總感染人數會增加為10倍，試求 $ \frac{P_{20} \times P_5 \times P_8}{P_{17} \times P_6 \times P_2} $ 的值。

[非選擇題]

答案

由題意：$ P_{n+16} = 10P_n $
原式 = $ \frac{P_0(1+r)^{20} \times P_0(1+r)^5 \times P_0(1+r)^8}{P_0(1+r)^{17} \times P_0(1+r)^6 \times P_0(1+r)^2} = (1+r)^{8} $
又 $ (1+r)^{16} = 10 $，故 $ (1+r)^8 = \sqrt{10} $
答案：$ \sqrt{10} $

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109指考數學乙試題-非選擇一(3)

一、(3) 承 (2)，試求 $ \frac{\log P_{20} – \log P_{17}}{3} $

[非選擇題]

答案

$ \frac{\log P_{20} - \log P_{17}}{3} = \frac{[\log P_0 + 20\log(1+r)] - [\log P_0 + 17\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) $
由(2)知 $ (1+r)^{16} = 10 $，故 $ \log(1+r) = \frac{\log 10}{16} = \frac{1}{16} $
答案：$ \frac{1}{16} $

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109指考數學乙試題-非選擇二(1)

二. 在坐標平面上，兩平行直線 $ L_1、L_2 $ 的斜率都是2且距離為5，又點 $ A(2,-1) $ 是 $ L_1 $ 在第四象限的一點，點 $ B $ 是 $ L_2 $ 在第二象限的一點且 $ AB = 5 $。已知直線 $ L_3 $ 的斜率為3，通過點 $ A $ 且交 $ L_2 $ 於點 $ C $，試回答下列問題：
(1) 試求直線 $ AB $ 的斜率。

[非選擇題]

答案

$ L_1 $ 與 $ L_2 $ 平行且距離5，$ AB=5 $ 且A在 $ L_1 $、B在 $ L_2 $
AB垂直於 $ L_1 $，故斜率為 $ -\frac{1}{2} $
答案：$ -\frac{1}{2} $

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109指考數學乙試題-非選擇二(2)

二、(2) 試求向量 $ AB $。

[非選擇題]

答案

由(1)知AB斜率 $ -\frac{1}{2} $，長度5
設 $ AB=(x,y) $，則 $ \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} $ 且 $ x^2+y^2=25 $
解得 $ x=\pm2\sqrt{5}, y=\mp\sqrt{5} $
由A(2,-1)在第四象限，B在第二象限，判斷符號
答案：$ (-2\sqrt{5},\sqrt{5}) $

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109指考數學乙試題-非選擇二(3)

二、(3) 試求內積 $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $ 的值。

[非選擇題]

答案

$\begin{align*}
(3) \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\
&= (\overrightarrow{AC} \text{ 在 } \overrightarrow{AB} \text{ 的投影量} |\overrightarrow{AB}|) \times |\overrightarrow{AB}| \\
&= 5 \times 5 = 25
\end{align*}$

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109指考數學乙試題-非選擇二(4)

二、(4) 試求向量 $ \overrightarrow{AC} $。

[非選擇題]

答案

\begin{align*}
(4) \quad &\text{點 } B \text{ 坐標為：} \ (2, -1) + (-2\sqrt{5}, \sqrt{5}) = (2 - 2\sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}) \\
\\
&L_2: \ y - (-1 + \sqrt{5}) = 2\left(x - (2 - 2\sqrt{5})\right) \\
&\quad \implies 2x - y = 5 - 5\sqrt{5} \\
\\
&L_3: \ y + 1 = 3(x - 2) \\
&\quad \implies 3x - y = 7 \\
\\
&將 \ L_2、L_3 \ 聯立，得交點 \ C(x, y) = (2 + 5\sqrt{5}, 15\sqrt{5} - 1) \\
\\
&故 \ \overrightarrow{AC} = (5\sqrt{5}, 15\sqrt{5})
\end{align*}

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