已知實係數二次多項式函數 \( y = f(x) \) 滿足 \( f(3) = f(-7) \)。試回答下列問題。
(1) 寫出 \( y = f(x) \) 圖形的對稱軸方程式。
答案
指考分科數學-乙
107指考數學乙試題-非選擇一(2)
(2) 若 \( f(x) = a(x – k)^2 + b \)，且 \( y = f(x) \) 的圖形與 x 軸交於相異兩點，試判斷 ab 乘積的值為正或負，並請說明理由。
[非選擇題]
答案
107指考數學乙試題-非選擇一(3)
(3) 若方程式 \( f(x) = 0 \) 有相異實根，試證兩根之積小於 4。
[非選擇題]
答案
設 \( f(x) = a(x+2)^2 + b \)，且 \( f(x) = 0 \) 有兩相異實根 \( \alpha, \beta \)。
由 \( a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow a(x^2 + 4x + 4) + b = 0 \Rightarrow ax^2 + 4a x + (4a+b) = 0 \)。
根與係數：\( \alpha\beta = \frac{4a+b}{a} = 4 + \frac{b}{a} \)。
由 (2) 知 \( \frac{b}{a} \lt 0 \)，所以 \( \alpha\beta \lt 4 \)。
得證。
107指考數學乙試題-非選擇二(1)
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本100萬元，此次進口上限20台，售出一台淨利潤11萬元；乙廠牌汽車每台成本120萬元，此次進口上限30台，售出一台淨利潤12萬元。今車商準備4400萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。
答案
107指考數學乙試題-非選擇二(2)
(2) 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。
[非選擇題]
答案
約束：
1. \(100x + 120y \leq 4400\) → \(5x + 6y \leq 220\)
2. \(0 \leq x \leq 20\)
3. \(0 \leq y \leq 30\)
交點：
- \(5x+6y=220\) 與 \(x=0\)：\(y=220/6=36.67\) 超出 30，取 \(y=30\) 時 \(x=(220-180)/5=8\)
- \(5x+6y=220\) 與 \(y=0\)：\(x=44\) 超出 20，取 \(x=20\) 時 \(y=(220-100)/6=20\)
可行解區域為四邊形頂點 \((0,0)\), \((0,30)\), \((8,30)\), \((20,20)\), \((20,0)\) 的凸多邊形。
107指考數學乙試題-非選擇二(3)
(3) 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？
[非選擇題]
答案
105指考數學乙試題-01
下列哪一個選項是方程式 \( 7x^5 – 2x^4 + 14x^3 – 4x^2 + 7x – 2 = 0 \) 的根？
(1) \(-1\)
(2) \(\frac{1}{7}\)
(3) \(\frac{1}{7}\)
(4) \(\frac{2}{7}\)
(5) \(\frac{-2}{7}\)
105指考數學乙試題-02
考慮有理數 \(\frac{n}{m}\)，其中 \( m \)、\( n \) 為正整數且 \( 1 \leq mn \leq 8 \)。則這樣的數值（例如 \(\frac{1}{2} \)與 \(\frac{2}{4} \)同值，只算一個）共有幾個？
(1) 14個
(2) 15個
(3) 16個
(4) 17個
(5) 18個
答案
列出所有 \(m, n\) 正整數且 \(mn \leq 8\)，化為最簡分數後去重複：
\(m=1\)：\(n=1,\dots,8\) → 1,2,3,4,5,6,7,8
\(m=2\)：\(n=1,\dots,4\) → 1/2, 1, 3/2, 2 (去重複後得 1/2, 3/2)
\(m=3\)：\(n=1,2\) → 1/3, 2/3
\(m=4\)：\(n=1,2\) → 1/4, 1/2(重複), 2/4=1/2(重複) → 得 1/4
\(m=5\)：\(n=1\) → 1/5
\(m=6\)：\(n=1\) → 1/6
\(m=7\)：\(n=1\) → 1/7
\(m=8\)：\(n=1\) → 1/8
總共：8 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 個。
答案為 (4)。
105指考數學乙試題-03
坐標平面上有兩向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10) \)，\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)。請問下列哪一個向量的長度最大？
(1) \(-3 \overset{\rightharpoonup}{u}\)
(2) \(6 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(3) \(-2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(4) \(2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(5) \(\overset{\rightharpoonup}{u} + 7 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
105指考數學乙試題-04
設\(f(x)\)為一未知的實係數多項式，但知道\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)^2\)的餘式為\(5x^2+6x+7\)。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
(1) 可求出\(f(0)\)之值
(2) 可求出\(f(1)\)之值
(3) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)^2\)的餘式
(4) 可求出\(f(x)\)除以\((x-6)^2\)的餘式
(5) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)\)的餘式