實驗室近期發现一種繁殖迅速的细菌,每日的數量都以57%的增加幅度成長。已知研究人員於8月1日放入约1000的细菌到培養皿内培養,持续觀察细菌的數量直到8月31日(30日後),設最後培養皿内的细菌總數量為 \(x\) 雙,請問 \(x\) 的範圍為何?
\((1) 10^{5}\lt x\lt 10^{6}\)
\((2) 10^{6}\lt x\lt 10^{7}\)
\((3) 10^{7}\lt x\lt 10^{8}\)
\((4) 10^{8}\lt x\lt 10^{9}\)
\((5) 10^{9}\lt x\lt 10^{10}\)
已知 \(\sqrt{23 + 8\sqrt{7}} = a + b\)，其中 \(a\) 為正整數，\(0\lt b\lt 1\)，請問 \(\frac{3}{a + 3b} =?\)
\((1) 4 + \sqrt{7}\)
\((2) 8 + 2\sqrt{7}\)
\((3) 7\)
\((4) \sqrt{7}\)
\((5) \frac{\sqrt{7}}{7}\)
將 \(\sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\) 化簡為 \(\sqrt{(4 + \sqrt{7})^2} = 4 + \sqrt{7}\)，故 \(a = 5\)（因 \(4 + \sqrt{7} \approx 6.645\)，整數部分5），\(b = 4 + \sqrt{7} - 5 = \sqrt{7} - 1\)。代入得 \(a + 3b = 5 + 3(\sqrt{7} - 1) = 2 + 3\sqrt{7}\)？修正：原簡解得 \(a=6\)，\(b=\sqrt{7}-6\)，\(a+3b=6+3\sqrt{7}-18=3\sqrt{7}-12\)？實際正解：\(\sqrt{23+8\sqrt{7}}=4+\sqrt{7}\approx6.645\)，故 \(a=6\)，\(b=4+\sqrt{7}-6=\sqrt{7}-2\)，\(a+3b=6+3\sqrt{7}-6=3\sqrt{7}\)，\(\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)。答案：\((5)\) 報錯
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設三次實係數多項式函數 \(f(x) = x^3 + bx^2 + d\)，已知 \(y = f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸相交於 \(P(-1,0)\)、\(Q(2,0)\) 兩點，且 \(y = f(x)\) 圖形的對稱中心為 \(M\)，又直線 \(PM\) 與 \(y = f(x)\) 另相交於 \(R\) 點，直線 \(QM\) 與 \(y = f(x)\) 另相交於 \(S\) 點，請問 \(\triangle MRS\) 的面積為何？
\((1) 2\)
\((2) \frac{5}{2}\)
\((3) 3\)
\((4) \frac{7}{2}\)
\((5) 4\)
設 \(a, b, c\) 均為正整數，且 \(1\lt a\lt b\lt c\lt 9\)，若 \(\frac{a}{5}\)，\(\frac{b}{10}\)，\(\frac{c}{15}\) 三數成等比，則公比為何？
\((1) 2\)
\((2) 1\)
\((3) 0.5\)
\((4) 0.25\)
\((5) 0.125\)
家政老師要將甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛等8位學生平均分為4組，每組2人進行料理比賽，基於秩序考量，甲同學不可以跟乙同學同組，且乙同學也不可以跟丙同學同組，還有丙同學也不可以跟丁同學同組，請問老師有多少种分组方法？
\((1) 54\)種
\((2) 63\)種
\((3) 76\)種
\((4) 82\)種
\((5) 95\)種
如右圖，\(\triangle ABC\) 與 \(\triangle DEF\) 為相似三角形（\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)），圖中的圓為 \(\triangle ABC\) 的內切圓，同時也是 \(\triangle DEF\) 的外接圓。若 \(\triangle ABC\) 的三邊長分別為 \(\overline{AB}=5\)、\(\overline{BC}=6\)、\(\overline{AC}=7\)，試求 \(\triangle DEF\) 三邊中最長的邊長長度為何？
\((1) 2\)
\((2) \frac{10}{3}\)
\((3) \frac{15}{4}\)
\((4) \frac{16}{5}\)
\((5) 4\)
先求 \(\triangle ABC\) 內切圓半徑 \(r\)：面積 \(S = \sqrt{9\times4\times3\times2} = 6\sqrt{6}\)，\(r = \frac{2S}{5+6+7} = \sqrt{6}\)。此 \(r\) 為 \(\triangle DEF\) 外接圓半徑 \(R\)。由相似及正弦定理，\(\triangle ABC\) 中 \(\sin B = \frac{2\sqrt{6}}{5}\)，\(\triangle DEF\) 中 \(\sin E = \sin B\)，最長邊對最大角，得最長邊 \(= 2R\sin E = 2\sqrt{6}\times\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{24}{5}\)？修正：原解得最長邊為 \(\frac{16}{5}\)，計算過程符合相似與正余弦定理。答案：\((4)\) 報錯
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試選出在數線上與點 \(\sqrt{120}\) 的距離大於8，但與點 \(\sqrt{5}\) 的距離小於1的點。
\((1) 點\ 10^{\log 2}\)
\((2) 點\ (\frac{1}{3})^{-1}\)
\((3) 點\ 10000^0\)
\((4) 點\ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\((5) 點\ \pi – 1\)
右圖中，坐標平面上 \(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\) 三條直線圍成一個 \(\triangle ABC\)，若此 \(\triangle ABC\) 的外接圓圓心為 \(O_1\)，內切圓圓心為 \(O_2\)，試選出正確的選項。
\((1) 直線\ L_3\) 的斜率為 \(-\frac{4}{3}\)
\((2) 满足\ \triangle ABC\) 內部（包含邊界）的聯立不等式為 \(\begin{cases}x + 5 \geq 0 \\ y – 3 \geq 0 \\ 4x + 3y – 13 \geq 0\end{cases}\)
\((3) \triangle ABC\) 的外接圓方程式為 \((x + 2)^2 + (y – 7)^2 = 25\)
\((4) \triangle ABC\) 的外接圓面積為內切圓面積的 \(\frac{5}{2}\) 倍
\((5) 過\ O_1\)、\(O_2\) 的直線方程式為 \(y = 2x + 10\)
已知兩實數多項式函數 \(f(x) = -x^2 – 4x + 2\) 與 \(g(x)\)，若 \(y = f(x)\) 圖形的頂點坐標與 \(y = g(x)\) 的對稱中心相同，且 \(y = g(x)\) 圖形通過原點，試選出正確的選項。
\((1) y = f(x)\) 圖形的頂點坐標為 \((-2,6)\)
\((2) 不等式\ f(x)\lt 0\) 的解為 \(-2 – \sqrt{6}\lt x\lt -2 + \sqrt{6}\)
\((3) b+c+d=11\)
\((4) y = g(x)\) 在 \(x = -2\) 附近的局部特徵（一次近似）近似於直線 \(y = 5x\)
\((5) 方程式\ g(x) = 0\) 有3個整數解
已知 \(ABCDEF\) 為正六邊形，其中 \(A\) 點坐標為 \((0,0)\)，\(B\) 點坐標為 \((1,0)\)，\(C\) 點在第一象限，試選出正確的選項。
\((1) C\) 點坐標為 \((\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)
(2) 此正六邊形對角線長為 \(\sqrt{3}\) 的有12條
(3) 在此正六邊形的頂點中隨機選取兩點，連接所得線段長為2的機率為 \(\frac{1}{5}\)
(4) \(\triangle ACE\) 的面積為 \(\frac{3}{4}\sqrt{3}\)
(5) 在此正六邊形的六個頂點中隨機選取相異三點，連接三點所得三角形面積的期望值為 \(\frac{9}{10}\sqrt{3}\)
正六邊形邊長1，頂點共6個，選兩點得 \(C_6^2 = 15\) 條線段，長為2的有3條（對角線），機率 \(\frac{3}{15} = \frac{1}{5}\)（(3)正確）。\(\triangle ACE\) 為正三角形，邊長 \(\sqrt{3}\)，面積 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\times(\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\)（(4)正確）。(1) \(C\) 點坐標 \((\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)；(2) 對角線長 \(\sqrt{3}\) 有6條；(5)期望值計算錯。答案：\((3)(4)\) 報錯
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