數學
112分科測驗數學甲考科試題-15
坐標平面上，設\(\Gamma\)為中心在原點且長軸落在y軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉\(\theta\)角（其中\(0\lt\theta\lt\pi\)）的線性變換將\(\Gamma\)變換到新橢圓\(\Gamma’:40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180\)，點\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)為\(\Gamma’\)上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題：橢圓\(\Gamma’\)的長軸長為 。（化為最簡根式）
[非選擇]
答案
112分科測驗數學甲考科試題-16
試求 Γ’ 短軸所在的直線方程式與短軸長。（非選擇題，4 分）
[非選擇]
答案
利用長軸過\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)來求短軸所在直線方程：\(2x + \sqrt{5}y = 0\)。
求短軸長：
將\(y = -\frac{2}{\sqrt{5}}x\)代入橢圓方程\(40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180\)：\(40x^2 + 4\sqrt{5}x\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}x\right) + 41\left(\frac{4}{5}x^2\right) = 180\)
化簡得：\(\frac{324x^2}{5} = 180 \implies x^2 = \frac{25}{9} \implies x = \pm\frac{5}{3}\)
對應\(y = \mp\frac{2\sqrt{5}}{3}\)，兩交點為\(\left(\frac{5}{3}, -\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)和\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)。短軸長為兩點距離：\(\sqrt{\left(\frac{5}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right)\right)^2 + \left(-\frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{180}{9}} = 4\) 報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-17
已知在\(\Gamma\)上的一點$P$經由此旋轉後得到的點\(P’\)落在$x$軸上，且\(P’\)點的$x$坐標大於$0$。試求$P$點的坐標。
[非選擇]
答案
已知\(\Gamma'\)上長軸端點\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)來自原橢圓\(\Gamma\)的上頂點\((0, \sqrt{5})\)（因\(\Gamma\)長軸在y軸，長軸長\(2\sqrt{5}\)）。旋轉矩陣\(R = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\)
$令y=0代入\Gamma'得x=\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\therefore \begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}},0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
利用反方陣求得$原座標P(x,y):x = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，\(y = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)。
答案：\(\boxed{\left(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)}\) 報錯
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111分科數學甲試題-01
設\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)是首項為10、公比是10的等比數列。令\(b = \sum_{n = 1}^{3}\log_{a_{n}}a_{n + 1}\) ，試選出\(b\)的範圍。(1)\(2 < b\leqslant3\)(2)\(3 < b\leqslant4\)(3)\(4 < b\leqslant5\)(4)\(5 < b\leqslant6\)(5)\(6 < b\leqslant7\)
[單選]
答案
由等比數列通項公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)（此處\(a_{1}=10\)，\(q = 10\)）可得\(a_{n}=10^{n}\)。
則\(b=\log_{a_{1}}a_{2}+\log_{a_{2}}a_{3}+\log_{a_{3}}a_{4}=\log_{10}10^{2}+\log_{10^{2}}10^{3}+\log_{10^{3}}10^{4}\)。
根據換底公式\(\log_{m}n=\frac{\log_{k}n}{\log_{k}m}\)，可化簡為\(b = 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{12 + 9 + 8}{6}=\frac{29}{6}\approx4.83\) ，所以\(4 < b\leqslant5\) ，答案為(3)。 報錯
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111分科數學甲試題-02
設\(c\)為實數使得三元一次方程組$\begin{cases}x – y + z = 0\\2x + cy + 3z = 1\\3x – 3y + cz = 0\end{cases}$無解。試選出\(c\)之值。
(1)\(-3\)(2)\(-2\)(3)\(0\)(4)\(2\)(5)\(3\)
[單選]
答案
對於三元一次方程組\(\begin{cases}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z = D_{1}\\A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z = D_{2}\\A_{3}x + B_{3}y + C_{3}z = D_{3}\end{cases}\)，其係數行列式\(\Delta=\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}\)。
此方程組中\(\Delta=\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&c&3\\3&-3&c\end{vmatrix}=c^{2}-3c - 10\)，令\(\Delta = 0\)，即\((c - 5)(c + 2)=0\) ，解得\(c = 5\)或\(c=-2\) 。
當\(c=-2\)時，方程組中前兩個方程相加得\(3x + z = 1\)，第三個方程為\(3x - 3y - 2z = 0\)，此時方程組無解，答案為(2)。 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題01
如右圖所示,有 一 \( \triangle ABC \),已知 \( BC \) 邊上的高 \( AD = 12 \),且 \( \tan\angle BAD=\frac{3}{2} \),\( \tan\angle CAD=\frac{2}{3} \),試問 \( BC \) 的長度為何？(1) 20 (2) 21 (3) 24 (4) 25 (5) 26
[單選]
答案
03-113分科測驗數學甲試題02
坐標平面上,橢圓 \( \Gamma \) 的方程式為 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{6^2}=1$ （其中 \( a \) 為正實數）。若將 \( \Gamma \) 以原點 \( O \) 為中心,沿 \( x \) 軸方向伸縮為 2 倍、沿 \( y \) 軸方向伸縮為 3 倍 後,所得到 的新 圖形會通過點 \((18,0)\) 。試 問 下 列 哪 一 個 選 項 是 \( \Gamma \) 的焦點？(1) \((0,3 )\) (2) \((\sqrt{3},0)\) (3) \((3\sqrt{3},0)\) (4) \((6,0)\) (5) \((9,0)\)
[單選]
答案
03-113分科測驗數學甲試題03
想 在 \( 5×5 \) 的棋盤上擺放 4 個 相 同 的 西 洋 棋 的 城 堡 棋 子。 由 於 城 堡 會 將 同 一 行 或 是同 一 列的棋子吃掉,故擺 放時規定每 一 行 與 每 一 列 最 多只能擺放 一 個城堡。在第 一 列 的 第 一、 三、 五 格 （如 圖示 畫叉 的格子） 不 擺 放 的 情況 下,試 問 共 有 多少 種 擺 放 方 式？(1) 216 (2) 240 (3) 288 (4) 312 (5) 360
答案
03-113分科測驗數學甲試題04
一遊戲廠商將舉辦抽獎活動,廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣,且每次抽獎的中獎機率皆為\(\frac{1}{10}\)。某甲決定先存若干個代幣,並在活動開始後進行抽獎,直到用完所有代幣才停止。試選出正確的選項。
(1)某甲中獎一次所需要抽獎次數的期望值為10
(2)某甲抽獎兩次就中獎一次以上的機率為0.2
(3)某甲抽獎10次都沒中獎的機率小於抽獎1次就中獎的機率
(4)某甲至少要存22個代幣,才能保證中獎的機率大於0.9
(5)某甲只要存足夠多的代幣,就可以保證中獎的機率為1
答案
(1) 中獎一次所需抽獎次數服從幾何分布,期望值為 \( \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10\),(1) 對；
(2) 抽獎兩次中獎一次以上的概率為 \(1 - C_{2}^{0}(\frac{1}{10})^{0}(1 - \frac{1}{10})^{2}=1 - 0.81 = 0.19\neq0.2\),(2) 錯；(3) 抽獎 10 次都沒中獎概率為 \((1 - \frac{1}{10})^{10}\approx0.349\),抽獎 1 次中獎概率為 \(\frac{1}{10}=0.1\),(3) 錯；(4) 設存 \(n\) 個代幣,中獎概率 \(P = 1-(1 - \frac{1}{10})^{n}>0.9\),即 \((1 - \frac{1}{10})^{n}<0.1\),解得 \(n\geq22\),(4) 對；(5) 當 \(n\to+\infty\) 時,中獎概率趨近於 1,有限個代幣時辦不到(5) 不對。
答案是(1)(4)。 報錯
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