〈數學〉彙整頁面 - 第 60 頁，總計 70 頁

03-113分科測驗數學甲試題05

設 $ f (x) $ 為三次實係數多項式。已知 $ f (−2 − 3i) = 0$（其中 $ i=\sqrt{-1} $）,且 $ f (x) $ 除以 $ x^{2}+x – 2$ 的餘式為 18 。試選出正確的選項。
(1) $ f (2 + 3i) = 0$
(2) $ f (−2) = 18$
(3) $ f (x) $ 的三次項係數為負
(4) $ f (x) = 0$ 恰有一正實根
(5) $ y = f (x) $ 圖形的對稱中心在第一象限

[多選]

答案

(1) 實系數多項式的虛根成對出現,所以 $f (-2 + 3i) = 0$,(1) 錯
(2) $x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)$,令 $f(x)=(x^{2}+x - 2)q(x)+18$,則 $f(-2)=18$,(2) 對；
(3) $令f(x)=[x-(-2-3i)][x-(-2+3i)](ax+b)=(x^2+4x+13)(px+q)\\
\because f(-2)=18=f(1)~~x=-2,1代入上式\\
解得p=-\frac{1}{3},q=\frac{4}{3}$,(3) 對；
(4) $by(3),可令px+q=0,解得第三根x=4$,(4) 對；
(5) 代對稱中心公式 $(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$,即可判定,(5) 錯。
答案是(2)(3)(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題06

坐標空間中,考慮滿足內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}$ 與外積 $\vec{u} \times \vec{v} = (−1,0,3)$ 的兩向量 $\vec{u} $、$\vec{v} $ 。試選出正確的選項。
(1) $\vec{u} $ 與 $\vec{v} $ 的夾角 $ \theta $（其中 $ 0\leq\theta\leq\pi $,$ \pi $ 為圓周率）大於 $ \frac{\pi}{4}$
(2) $\vec{u} $ 可能為 $(1,0,−1)$
(3) $\vert\vec{u}|+|\vec{v}\vert\ge 2\sqrt{5}$
(4) 若已知 $\vec{v} $,則 $\vec{u} $ 可以被唯一決定
(5) 若已知 $\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert$,則 $\vert\vec{v}\vert$ 可以被唯一決定

[多選]

答案

(1) $\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\sin\theta=\sqrt{10}\cdots(a)$,$\vec{u} \cdot \vec{v} =\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos\theta=\sqrt{15}\cdots(b)$,$\frac{(a)}{(b)}$可得 $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\le1$,所以 $ \theta\lt\frac{\pi}{4}$,(1) 錯；
(2) $\because (1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0,不滿足外積為公垂向量,內稽等於0之要求$,(2) 錯；
(3) $by(1)~~(a)^2+(b)^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2=25\therefore |\vec{u}||\vec{v}|=5$
$算幾不等式~~\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{2}\ge\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2}=5\\ |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge2|\vec{u}||\vec{v}|=10 \\(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge2|\vec{u}||\vec{v}|+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge10+2\times5=20\\|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(4)$若\vec{u}確定則|\vec{u}|,|\vec{v}|都確定\\又\vec{v}//\vec{u}\times(-1,0,3)\therefore \vec{v}有兩個方向\\若加上第(1)選項可知夾角\\就能確定方向只有一種可能~~所以\vec{v}的大小與方向都能確定,只有一種可能$ ,(4) 對；
(5) 由$令\overset{確定}{\square^2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\overset{可確定}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\知|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2可確定,\\只知道夾角但是|\vec{v}|無法確定$
,(5) 錯。
答案是(3)(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題07

坐標平面上,考慮兩函數 $ f (x) = x^{5}-5x^{3}+5x^{2}+5$ 與 $ g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})$ 的函數圖形（其中 $ \pi $ 為圓周率）。試選出正確的選項。
(1) $ f'(1) = 0$
(2) $ y = f (x) $ 在閉區間 $[0,2]$ 為遞增
(3) $ y = f (x) $ 在閉區間 $[0,2]$ 為凹向上
(4) 對任意實數 $ x$,$ g(x + 6\pi) = g(x)$
(5) $ y = f (x) $ 與 $ y = g(x) $ 在閉區間 $[3,4]$ 皆為遞增

[多選]

答案

(1) $f'(x)=5x^{4}-15x^{2}+10x$,$f'(1)=5 - 15 + 10 = 0$,(1) 對；
(2) $f'(x)=5x(x^{3}-3x + 2)=5x(x - 1)^{2}(x + 2)$,在 $[0,2]$ 上 $f'(x)\geq0$,$y = f (x)$ 遞增,(2) 對；
(3) $f''(x)=20x^{3}-30x + 10$,在 $[0,2]$ 上 $f''(x)$ 有正有負,不是凹向上,(3) 錯；
(4) $g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x)$ 的周期 $T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$,不是 $6\pi$,(4) 錯；
(5) $f'(x)>0$ 在 $[3,4]$ 成立,
$g(x)週期6且x=3時\theta=\frac{\pi}{3}\times3+\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi,\\x=4時\theta=\frac{\pi}{3}\times4+\frac{\pi}{2}=\frac{11}{6}\pi,此區間g(x)遞增,(5)對。$
答案是(1)(2)(5)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題08

設z為非零複數，且設$\alpha = |z|$、$\beta$為z的輻角，其中$0 \leq \beta \lt 2\pi$（其中$\pi$為圓周率）。
對任一正整數n，設實數$x_{n}$與$y_{n}$分別為$z^{n}$的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若$\alpha = 1$且$\beta = \frac{3\pi}{7}$，則$x_{10} = x_{3}$
(2) 若$y_{3} = 0$，則$y_{6} = 0$
(3) 若$x_{3} = 1$，則$x_{6} = 1$
(4) 若數列$\{y_{n}\}$收斂，則$\alpha \leq 1$
(5) 若數列$\{x_{n}\}$收斂，則數列$\{y_{n}\}$也收斂

[多選]

答案

選項（1）
由棣美弗定理，$z = \cos\frac{3\pi}{7} + i\sin\frac{3\pi}{7}$，則$x_{10} = \cos\left(10 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}$，$x_3 = \cos\left(3 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{9\pi}{7}$。
因$\cos\frac{2\pi}{7} \neq \cos\frac{9\pi}{7}$，故$x_{10} \neq x_3$，（1）錯誤。
選項（2）$z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)$，$y_3 = 0 \implies \sin3\beta = 0$，即$3\beta = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），$\beta = \frac{k\pi}{3}$。
代入$z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)$，得$6\beta = 2k\pi$，此時$\sin6\beta = 0$，故$y_6 = 0$，（2）正確。
選項（3）$z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)$，$x_3 = 1 \implies \alpha^3\cos3\beta = 1$。
但$z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)$中，$\alpha^6\cos6\beta$未必等於1。例如，取$\alpha = \sqrt[3]{2}$，$\cos3\beta = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$，此時$\cos6\beta$無法保證$\alpha^6\cos6\beta = 1$，（3）錯誤。
選項（4）$y_n = \alpha^n\sin(n\beta)$。若$\alpha > 1$，$\alpha^n$趨向無窮，$y_n$因$\sin(n\beta)$振盪而不收斂；若$\alpha \leq 1$，$\alpha^n \to 0$（$\alpha < 1$）或穩定（$\alpha = 1$），此時$y_n$收斂。因此，$\{y_n\}$收斂 $\implies \alpha \lt 1$，（4）錯誤。選項（5）$\because \alpha\lt1\therefore \{y_n\}收斂$（5）正確。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題09

設$a, b, c, d$為實數。已知兩聯立方程組$\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}$、$\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}$的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到$\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}$。求聯立方程組$\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}$的解，即$x = \_\_\_$，$y = \_\_\_$。

[選填]

答案

通過分析前兩個方程組的解，反推原係數：對第一個方程組，變換後解為$x = 5$，$y = 2$，代入$\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}$；對第二個方程組，變換後解為$x = 1$，$y = -1$，代入$\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}$。解得$a = 0$，$b = 1$，$c = -\frac{1}{7}$，$d = \frac{6}{7}$。代入所求方程組$\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}y = 0 \\ -\frac{1}{7}x + \frac{6}{7}y = 1\end{cases}$，解得$x = -7$，$y = 0$。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題10

坐標平面上,設 $ \Gamma $ 為以原點為圓心的圓,$ P $ 為 $ \Gamma $ 與 $ x $ 軸的其中一個交點。已知通過 $ P $ 點且斜率為 $\frac{1}{2}$ 的直線交 $ \Gamma $ 於另一點 $ Q$,且 $ PQ = 1$,則 $ \Gamma $ 的半徑為__________ 。

[選填]

答案

設圓的半徑為 $r$,$P(r,0)$,直線方程為 $y=\frac{1}{2}(x - r)$,即 $x - 2y - r = 0$。由圓心到直線的距離公式 $d=\frac{\vert - r\vert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$,再根據垂徑定理,$(\frac{PQ}{2})^{2}+d^{2}=r^{2}$,即 $(\frac{1}{2})^{2}+\frac{r^{2}}{5}=r^{2}$,解得 $r=\frac{\sqrt{5}}{4}$。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題11

設實數 $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{9} $ 是公差為 $ 2 $ 的等差數列 ,其中 $ a_{1}\neq0$ 且 $ a_{3}>0$。若 $\log_{2}a_{3},\log_{2}b,\log_{2}a_{9}$ 三數依序也成等差數列 ,其中 $ b $ 為 $ a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8} $ 其中一數,則 $a_9 =$__________ 。

[選填]

答案

已知$\{a_n\}$是公差$d = 2$的等差數列，則$a_n = a_1 + 2(n - 1)$。由$\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9$成等差數列，得$2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9$，即$b^2 = a_3 a_9$。計算$a_3 = a_1 + 4$，$a_9 = a_1 + 16$，代入$b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)$。因b為$a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$之一，逐一驗證：若$b = a_4 = a_1 + 6$，則$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)$，展開得：$a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}$
此時$a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0$，符合條件。因此，$a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}$。最終答案：$\boxed{\dfrac{25}{2}}$ 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題12

坐標空間中,考慮三個平面 $ E_{1}: x + y + z = 7$、 $ E_{2}: x – y + z = 3$、 $ E_{3}: x – y – z = -5$。令 $ E_{1}$ 與 $ E_{2}$ 相交的直線為 $ L_{3}$ ； $ E_{2}$ 與 $ E_{3}$ 相交的直線為 $ L_{1}$ ； $ E_{3}$ 與 $ E_{1}$ 相交的直線為 $ L_{2}$ 。已知三直線 $ L_{1}$ 、$L_{2}$ 、$L_{3}$ 有共同交點,試求此共同交點 $ P $ 的坐標。

[非選擇]

答案

聯立 $\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}$,兩式相減得 $2y = 4$,$y = 2$。再聯立 $\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}$,兩式相加得 $2(x - y)= - 2$,把 $y = 2$ 代入得 $x = 3$,再把 $x = 3$,$y = 2$ 代入 $x + y + z = 7$ 得 $z = 2$,所以交點 $P$ 的坐標為 $(3,2,2)$。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題13

坐標空間中,考慮三個平面 $ E_{1}: x + y + z = 7$、 $ E_{2}: x – y + z = 3$、 $ E_{3}: x – y – z = -5$。令 $ E_{1}$ 與 $ E_{2}$ 相交的直線為 $ L_{3}$ ； $ E_{2}$ 與 $ E_{3}$ 相交的直線為 $ L_{1}$ ； $ E_{3}$ 與 $ E_{1}$ 相交的直線為 $ L_{2}$ 。試說明 $ L_{1}$ 、 $ L_{2}$ 、 $ L_{3}$ 中,任兩直線所夾的銳角皆為 $ 60^{\circ}$ 。

[非選擇]

答案

先求各直線方向向量,平面 $E_{1}$ 法向量 $\vec{n}_{1}=(1,1,1)$,$E_{2}$ 法向量 $\vec{n}_{2}=(1,- 1,1)$,$E_{3}$ 法向量 $\vec{n}_{3}=(1,- 1,- 1)$ 。 $L_{1}$ 方向向量 $\vec{v}_{1}=\vec{n}_{2}\times\vec{n}_{3}=(2,2,0)$,$L_{2}$ 方向向量 $\vec{v}_{2}=\vec{n}_{3}\times\vec{n}_{1}=(0,2,2)$,$L_{3}$ 方向向量 $\vec{v}_{3}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=(2,0,- 2)$ 。任取兩個方向向量,如 $\vec{v}_{1}$ 與 $\vec{v}_{2}$,$\cos\theta=\frac{\vert\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}\vert}{\vert\vec{v}_{1}\vert\vert\vec{v}_{2}\vert}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$,所以夾角為 $60^{\circ}$,同理可證其他兩兩夾角也為 $60^{\circ}$。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題14

坐標空間中,考慮三個平面 $ E_{1}: x + y + z = 7$、 $ E_{2}: x – y + z = 3$、 $ E_{3}: x – y – z = -5$。
令 $ E_{1}$ 與 $ E_{2}$ 相交的直線為 $ L_{3}$ ； $ E_{2}$ 與 $ E_{3}$ 相交的直線為 $ L_{1}$ ； $ E_{3}$ 與 $ E_{1}$ 相交的直線為 $ L_{2}$ 。
若坐標空間中第四個平面 $ E_{4}$ 與 $ E_{1}$ 、 $ E_{2}$ 、 $ E_{3}$ 圍出一個邊長為 $ 6$ 的正四面體,試求出 $ E_{4}$ 的方程式（寫成 $ x + ay + bz = c$ 的形式）。

[非選擇]

答案

先求出平面 $E_{1}$ 、 $E_{2}$ 、 $E_{3}$ 交點 $P(3,2,2)$ 。正四面體中,點 $P$ 到平面 $E_{4}$ 的距離 $d = \sqrt{6^{2}-(2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{6}$ 。設平面 $E_{4}$ 法向量 $\vec{n}=(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,1)且(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,-1)$,可以算出a,b\\
再利用點到平面距離公式 $d=\frac{\vert3 + 2a + 2b - c\vert}{\sqrt{1 + a^{2}+b^{2}}}=\overset{6\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}}$ ,可得c\\平面 $E_{4}$ 的方程為 $x + y - z = 3$ 。報錯
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