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04 – 114學測數學b試題16

教室的某牆角是由牆面和地面兩兩互相垂直所構成。設牆角為點$O$,現有一個三角形擋板$ABC$,其中頂點$A$、$B$、$C$位在牆面間或牆面與地面間的交界線上,並與牆角$O$的距離分別為$20$、$20$、$10$公分；$AB$、$BC$、$CA$三邊與牆面或地面貼合,如圖所示。則$\angle BAC = \underline{}$（化為最簡根式）

[選填]

答案

設
- $ A(20,0,0) $、$ B(0,20,0) $（在地面兩牆交線）
- $ C(0,0,10) $（在牆上）

則
- $ \vec{AB} = (-20,20,0) $
- $ \vec{AC} = (-20,0,10) $

利用
\[
\tan\angle CAB = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}
\]

計算得：
- 叉積長度 $ = 200\sqrt{6} $
- 點積 $ = 400 $

故
\[
\tan\angle CAB = \frac{200\sqrt{6}}{400} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

**答：** $ \dfrac{\sqrt{6}}{2} $ 報錯
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04 – 114學測數學b試題17

某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的$LED$燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮$3$秒, 再暗$1$秒, 再亮$2$秒」；
綠色：「亮$6$秒, 再暗$2$秒」；
藍色：「亮$k$秒,再暗 $(15 – k)$ 秒」,其中$k$為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環,面板上都一直有燈亮著,並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略,則$k$的最小值為 $\underline{○17 – 1}\ \underline{○17 – 2}$。

[選填]

答案

- 紅燈週期 6 秒：亮 3 秒 → 暗 1 秒 → 亮 2 秒 ⇒ **僅在第 3～4 秒暗**
- 綠燈週期 8 秒：亮 6 秒 → 暗 2 秒 ⇒ **在第 6～8 秒暗**
- 藍燈週期 15 秒：亮 $k$ 秒 → 暗 $15 - k$ 秒 ⇒ **在第 $k$～15 秒暗**

要求：**任何時刻至少一燈亮** → **三燈不能同時暗**

---

### 關鍵：找出紅與綠「同時暗」的時刻，再讓藍燈在那些時刻「亮」。

紅暗：$ t \equiv 3 \pmod{6} $（即 $ t = 3,9,15,21,27,33,\dots $）
綠暗：$ t \equiv 6,7 \pmod{8} $（即 $ t = 6,7,14,15,22,23,30,31,\dots $）

找共同時刻（在 0～120 秒內，LCM(6,8,15)=120）：

- $ t = 15 $：紅暗（15≡3 mod 6），綠暗（15≡7 mod 8）✅
- $ t = 39 $：39≡3 mod 6，39≡7 mod 8 ✅
- $ t = 63 $：63≡3 mod 6，63≡7 mod 8 ✅
- $ t = 87 $：87≡3 mod 6，87≡7 mod 8 ✅
- $ t = 111 $：111≡3 mod 6，111≡7 mod 8 ✅

這些是紅綠同暗的時刻：
**15, 39, 63, 87, 111**

藍燈在時刻 $ t $ 亮 ⇔ $ t \bmod 15 < k $ 所以，要讓上述每個 $ t $ 滿足： \[ t \bmod 15 < k \] 計算： - $ 15 \bmod 15 = 0 $ - $ 39 \bmod 15 = 9 $ - $ 63 \bmod 15 = 3 $ - $ 87 \bmod 15 = 12 $ - $ 111 \bmod 15 = 6 $ → 藍燈需在餘數 **0, 3, 6, 9, 12** 時亮即：這些餘數都必須 **< k** 最大餘數為 **12**，故需： \[ k > 12 \quad \Rightarrow \quad k \geq 13
\]

最小正整數 $ k = 13 $

### ✅ 正確答案：$ \dfrac{13}{1} $

紅綠同暗時刻模 15 的餘數為：0, 3, 6, 9, 12
藍燈需在這些時刻亮 ⇒ $ k > 12 $ ⇒ 最小 $ k = 13 $

**答：** $ \boxed{\dfrac{13}{1}} $ 報錯
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04 – 114學測數學b試題18

地球受到太陽照射過來的紫外線強度以$UVI$數值表示, 一單位$UVI$的照射強度相當於每平方公尺$100$焦耳的能量。已知$UVI$數值與所在高度呈指數關係：高度每上升$300$公尺,其$UVI$數值增加上升前的$4\%$。在地平面上接收到太陽發出每平方公尺$400$焦耳的紫外線,則到了離地平面$4500$公尺高的山上,接收到紫外線的$UVI$數值為下列哪一個選項？(1) $4(1 + 0.04×15)$；(2) $4(1 + 0.04^{15})$；(3) $4(1 + 0.04)^{15}$；(4) $4×100(1 + 0.04)^{15}$；(5) $4×100(1 + 0.04^{45})$

[單選]

答案

地平面上能量$400$焦耳,則$UVI$數值為$4$。高度上升$4500$公尺,$4500÷300 = 15$,即經過$15$次$300$公尺上升,每次增加$4\%$,所以$UVI$數值為$4(1 + 0.04)^{15}$。答案：(3) 報錯
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04 – 114學測數學b試題19

19. 已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 $ x $ 小時（$ 0 \leq x \leq 12 $）的 UVI 數值，可用函數 $ f(x) = a\sin(bx) $ 來表示，其中 $ a, b > 0 $。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 $ f(0) = f(12) = 0 $），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 $ a $、$ b $ 之值。（非選擇題，6 分）

[非選擇]

答案

已知：
- $ f(x) = a\sin(bx) $
- $ f(0) = 0 $，$ f(12) = 0 $
- $ f(2) = 4 $

#### 步驟一：由 $ f(12) = 0 $ 求 $ b $

$$
f(12) = a\sin(12b) = 0 \Rightarrow \sin(12b) = 0
\Rightarrow 12b = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}
\Rightarrow b = \frac{n\pi}{12}
$$

又因 $ f(x) $ 在 $ [0,12] $ 上為正（日照時），且為正弦函數，故應為**半個正弦波**，即從 0 上升至最大再下降回 0。

→ 所以週期為 24 小時，但只取前半段 → 半週期為 12 小時
→ 正弦函數在 $ x=6 $ 時達最大值

因此，$ \sin(bx) $ 的週期為 24，即：
$$
\frac{2\pi}{b} = 24 \Rightarrow b = \frac{\pi}{12}
$$

（或直接由 $ 12b = \pi $ 得 $ b = \frac{\pi}{12} $，對應第一個零點）

#### 步驟二：代入 $ f(2) = 4 $

$$
f(2) = a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4
\Rightarrow a = 8
$$

---

### ✅ 答案：
- $ a = 8 $
- $ b = \dfrac{\pi}{12} $

---

### **簡化略解（繁體）：**

由 $ f(12) = 0 $ 且為正弦型，得半週期為 12 小時 ⇒ $ b = \dfrac{\pi}{12} $
代入 $ f(2) = 4 $：
$$
a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow a = 8
$$

**答：** $ a = 8 $，$ b = \dfrac{\pi}{12} $ 報錯
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04 – 114學測數學b試題20

20. 承第 19 題，今某人要在該日 UVI 數值介於 $ 4\sqrt{2} $ 和 $ 4\sqrt{3} $ 之間（含）時做日光浴。將他可以做日光浴的時間設為日出後 $ t $ 小時，試求 $ t $ 的最大可能範圍。（非選擇題，6 分）

[非選擇]

答案

\[
4\sqrt{2} \leq 8\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq 4\sqrt{3}
\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

因 $ \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} $ 當 $ \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} $，
$ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 當 $ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} $，

故：
\[
\frac{\pi}{12}t \in \left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4}\right]
\]

解得：
\[
t \in [3,4] \cup [8,9]
\]

**答：** $ \boxed{[3,4] \cup [8,9]} $ 報錯
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113學測數學B試題-01

某遊戲共有210位玩家,每位玩家均持有寶石,其中持有1顆的有1位,持有2顆的有2位,依此類推,持有20顆寶石的有20位。試問這些玩家每人持有寶石數量的第90百分位數為下列哪一個選項？(1) 16；(2) 17；(3) 18；(4) 19；(5) 20

[單選]

答案

1. 先計算前$n$組的累積人數：
- 前$n$組累積人數$S_n=\sum_{k = 1}^{n}k=\frac{n(n + 1)}{2}$。
- 計算$\frac{n(n + 1)}{2}$,當$n = 18$時,$S_{18}=\frac{18\times(18 + 1)}{2}=171$人；當$n = 19$時,$S_{19}=\frac{19\times(19 + 1)}{2}=190$人。
2. 因為$210\times90\% = 189$人,$171\lt189\lt190$,所以第$90$百分位數落在持有$19$顆寶石這一組。答案：(4) 報錯
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113學測數學B試題-02

已知$a$,$b$,$c$為實數,且滿足$1\lt a\lt10$、$b = \log a$、$c = \log b$,試選出正確的選項。(1) $c\lt0\lt b\lt1$；(2) $0\lt c\lt1\lt b$；(3) $0\lt c\lt b\lt1$；(4) $1\lt c\lt b$；(5) $c\lt b\lt0$

[單選]

答案

1. 已知$1\lt a\lt10$,對於$y = \log x$（假設以$10$為底）,當$x = a$時,$b=\log a$,由對數函數性質可得$0\lt\log a\lt1$,即$0\lt b\lt1$。
2. 又$c = \log b$,因為$0\lt b\lt1$,所以$\log b\lt0$,即$c\lt0$。所以$c\lt0\lt b\lt1$。答案：(1) 報錯
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113學測數學B試題-03

某射擊遊戲的玩家要避開障礙物射擊目標。今在遊戲畫面中設立一直角坐標系,以長方形螢幕左下角點$O$為原點,螢幕下方的邊緣為$x$軸、螢幕左方的邊緣為$y$軸,目標物放在點$P(12,10)$。畫面中有兩面牆（牆厚度可忽略不計）,一面牆由點$A(10,5)$水平延伸到點$B(15,5)$,另一面牆由點$C(0,6)$水平延伸到點$D(9,6)$,如右圖之示意圖。若玩家在點$Q$可直線射擊點$P$的目標物,不會被兩面牆阻擋。下列哪一個選項有可能是點$Q$的坐標？(1) $(6,3)$；(2) $(7,3)$；(3) $(8,5)$；(4) $(9,1)$；(5) $(9,2)$

[單選]

答案

1. 分別求出直線$AP$、$BP$、$CP$、$DP$的方程。
- 直線$AP$的斜率$k_{AP}=\frac{10 - 5}{12 - 10}=\frac{5}{2}$,方程為$y - 5=\frac{5}{2}(x - 10)$,即$y=\frac{5}{2}x - 20$。
- 直線$BP$的斜率$k_{BP}=\frac{10 - 5}{12 - 15}=-\frac{5}{3}$,方程為$y - 5=-\frac{5}{3}(x - 15)$,即$y=-\frac{5}{3}x + 30$。
- 直線$CP$的斜率$k_{CP}=\frac{10 - 6}{12 - 0}=\frac{1}{3}$,方程為$y - 6=\frac{1}{3}(x - 0)$,即$y=\frac{1}{3}x + 6$。
- 直線$DP$的斜率$k_{DP}=\frac{10 - 6}{12 - 9}=\frac{4}{3}$,方程為$y - 6=\frac{4}{3}(x - 9)$,即$y=\frac{4}{3}x - 6$。
2. 將各選項代入判斷,只有$(7,3)$不在兩面牆所在直線與目標物$P$連線的阻擋區域內。答案：(2) 報錯
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113學測數學B試題-04

已知坐標平面上有一向量$\vec{v}=(-2,3)$及兩點$A$、$B$,且點$A$的$x$坐標和$y$坐標、點$B$的$x$坐標和$y$坐標都落在區間$[0,1]$內 ,試問$\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert$的最大值為下列哪一個選項？(1) $\sqrt{13}$；(2) $2\sqrt{13}$；(3) $3$；(4) $5$；(5) $\sqrt{13}+2$

[單選]

答案

1. 設$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$0\leq x_1,y_1,x_2,y_2\leq1$,則$\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$。
2. $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-2(x_2 - x_1)+3(y_2 - y_1)=-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1$。
3. 求$\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert$的最大值,$\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert=\vert-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\vert\leq\vert-2x_2\vert+\vert2x_1\vert+\vert3y_2\vert+\vert-3y_1\vert$。
- 因為$0\leq x_1,x_2,y_1,y_2\leq1$,所以$\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\leq2 + 2 + 3 + 3 = 5$。答案：(4) 報錯
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113學測數學B試題-05

設二次函數$f(x)=x^{2}+bx + c$,其中$b$,$c$為實數。已知$f(x – 2)=f(-x – 2)$對任意實數$x$均成立,且當$-3\leq x\leq1$時,$f(x)$的最大值會是最小值的4倍,則$f(x)$的最小值是下列哪一個選項？(1) $0$；(2) $1$；(3) $3$；(4) $4$；(5) $6$

[單選]

答案

1. 由$f(x - 2)=f(-x - 2)$可知二次函數$f(x)$的對稱軸為$x=-2$,即$-\frac{b}{2}=-2$,解得$b = 4$。
2. 所以$f(x)=x^{2}+4x + c=(x + 2)^{2}+c - 4$,在$-3\leq x\leq1$上,$f(x)$在$x=-2$取得最小值$c - 4$,在$x = 1$取得最大值$1 + 4 + c = 5 + c$。
3. 已知最大值是最小值的$4$倍,即$5 + c = 4(c - 4)$,解得$c = 7$。所以最小值$c - 4 = 3$。答案：(3) 報錯
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