數學

設 \(g(x)=m(x)f(x)+(-3x - 17)\),因為 \(f(x)\) 是三次多項式,\(g(x)\) 也是三次多項式,所以 \(m(x)\) 為常數,設 \(m(x)=k\),則 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=k(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17\),比較三次項系數得 \(k = a\),即 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=a(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17\),展開得 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=ax^{3}+a^{2}x^{2}+abx + ac - 3x - 17\),比較二次項系數 \(b = a^{2}\),一次項系數 \(c = ab - 3\)。那麽 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\) 時,由於 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 最高次項次數相同,商為 \(\frac{1}{a}\),余式為 \(f(x)-\frac{1}{a}g(x)\),經計算可得 \(p = 0\)。答案：(3) 報錯
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\(30\) 分鐘後從 \(A\) 廣告開始播放變為 \(B\) 廣告開始播放,說明 \(30\) 分鐘是 \(2T\) 的整數倍加上 \(T\),即 \(30 = (2n + 1)T\),\(n\) 為非負整數。分別代入選項：(1) \(30=(2n + 1)\times15\),\(n = \frac{1}{2}\) 不符合；(2) \(30=(2n + 1)\times10\),\(n = 1\) 符合；(3) \(30=(2n + 1)\times8\),\(n=\frac{11}{8}\) 不符合；(4) \(30=(2n + 1)\times6\),\(n = 2\) 符合；(5) \(30=(2n + 1)\times5\),\(n=\frac{5}{2}\) 不符合。答案：(2)(4) 報錯
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1. 分析選項(1)：
\( a \)、\( b \)、\( d \) 為有理數，\( c=2\sqrt{10} \) 為無理數，有理數 + 無理數 = 無理數，故 \( a+b+c+d \) 必為無理數，選項(1)錯誤。

2. 分析選項(2)：
若 \( d=0 \)（有理數），則 \( abcd = 6 \times \frac{20}{3} \times 2\sqrt{10} \times 0 = 0 \)（有理數），選項(2)錯誤。

3. 分析選項(3)：
點 \( D \) 與點 \( C \) 的距離為 \( |d - 2\sqrt{10}| \)，若 \( d = 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10}+6) = 4\sqrt{10}+6 \)（但 \( d \) 需為有理數，而 \( 4\sqrt{10}+6 \) 是無理數）；若 \( d = 2\sqrt{10} - (2\sqrt{10}+6) = -6 \)（有理數），此時距離為 \( |-6 - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}+6 \)，符合條件，選項(3)正確。

4. 分析選項(4)：
點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點為 \( \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{\frac{38}{3}}{2} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \)，\( c=2\sqrt{10} \approx 6.32 \)，故中點 \( \frac{19}{3} > 2\sqrt{10} \)，位在點 \( C \) 右邊，選項(4)正確。

5. 分析選項(5)：
點 \( B = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)，距離小於 8 的區間為 \( (\frac{20}{3} - 8, \frac{20}{3} + 8) = (-\frac{4}{3}, \frac{44}{3}) \)。正整數有 \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \)（共14個），負整數有 \( -1 \)（共1個），選項(5)正確。

综上，正確選項為(3)(4)(5)。 報錯
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甲的數量變化公式為 \(N_{甲}=X\cdot2^{\frac{t - 12}{3}}\),乙的數量變化公式為 \(N_{乙}=Y\cdot2^{\frac{t - 12}{2}}\)。18 點時兩者數量相同,則 \(X\cdot2^{\frac{18 - 12}{3}}=Y\cdot2^{\frac{18 - 12}{2}}\),即 \(4X = 8Y\),\(X = 2Y\),所以 \(X\gt Y\),(1) 正確；13 點時,甲的數量為 \(X\cdot2^{\frac{13 - 12}{3}}=2^{\frac{1}{3}}X\neq\frac{4}{3}X\),(2) 錯誤；15 點時,乙的數量為 \(Y\cdot2^{\frac{15 - 12}{2}}=2\sqrt{2}Y\neq3Y\),(3) 錯誤；19 點時,甲數量為 \(X\cdot2^{\frac{19 - 12}{3}}=2^{\frac{7}{3}}X\),乙數量為 \(Y\cdot2^{\frac{19 - 12}{2}}=2^{\frac{7}{2}}Y\),因為 \(X = 2Y\),則乙數量為甲的 \(\frac{2^{\frac{7}{2}}Y}{2^{\frac{7}{3}}X}=\frac{2^{\frac{7}{2}}Y}{2^{\frac{7}{3}}\cdot2Y}=2^{\frac{7}{2}-\frac{7}{3}-1}=2^{\frac{1}{6}}\neq1.5\) 倍,(4) 錯誤；24 點時,甲數量為 \(X\cdot2^{\frac{24 - 12}{3}} = 16X\),乙數量為 \(Y\cdot2^{\frac{24 - 12}{2}} = 64Y\),因為 \(X = 2Y\),乙數量為甲的 \(\frac{64Y}{16X}=\frac{64Y}{16\cdot2Y}=2\) 倍,(5) 正確。答案：(1)(5) 報錯
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1. 分析選項(1)：
圓與兩坐標軸相切，圓心到x軸和y軸的距離相等且等於半徑，故 \( |a| = |b| = r \)。因 \( a > 0 \)，且圓與軸相切的位置可推得 \( b = a \)（若 \( b = -a \) 則圓在第四象限，與 \( a > c > 0 \) 及 \( P(c,c) \) 位置不符），故 \( a = b \)，選項(1)正確。

2. 分析選項(2)：
點 \( P(c,c) \) 滿足 \( x = y \)，即位於直線 \( x - y = 0 \) 上，而非 \( x + y = 0 \)，選項(2)錯誤。

3. 分析選項(3)：
圓的方程為 \( (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 \)。點 \( P(c,c) \) 到圓心 \( A(a,a) \) 的距離 \( \overline{PA} = \sqrt{(a - c)^2 + (a - c)^2} = \sqrt{2}(a - c) \)，已知 \( \overline{PA} = a + c \)，故 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，解得 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)。
點 \( P \) 到圓心的距離平方為 \( 2(a - c)^2 \)，圓半徑平方為 \( a^2 \)。
計算 \( 2(a - c)^2 - a^2 = 2a^2 - 4ac + 2c^2 - a^2 = a^2 - 4ac + 2c^2 \)，代入 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)：
\( (3 + 2\sqrt{2})^2c^2 - 4(3 + 2\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (17 + 12\sqrt{2})c^2 - (12 + 8\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (7 + 4\sqrt{2})c^2 > 0 \)，故點 \( P \) 在圓外，選項(3)錯誤。

4. 分析選項(4)：
由 \( a = b \)，且 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，則 \( b - c = a - c \)，\( \frac{a + c}{b - c} = \frac{a + c}{a - c} = \frac{\sqrt{2}(a - c)}{a - c} = \sqrt{2} \)，選項(4)正確。

5. 分析選項(5)：
由 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，移項得 \( a(\sqrt{2} - 1) = c(\sqrt{2} + 1) \)，\( \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} \)，而非 \( 2 + 3\sqrt{2} \)，選項(5)錯誤。

综上，正確選項為(1)(4)。 報錯
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設地球儀半徑為 \(R\)。(1) 赤道長度為 \(2\pi R\),一條經線長度為 \(\pi R\),兩條經線長度和為 \(2\pi R\),赤道長度等於東經 \(0^{\circ}\) 和 \(180^{\circ}\) 兩條經線長度總和,(1) 正確；(2) 北緯 \(45^{\circ}\) 線所在圓半徑為 \(R\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}R\),其長度為 \(2\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}R=\sqrt{2}\pi R\),赤道長度為 \(2\pi R\),北緯 \(45^{\circ}\) 線長度是赤道長度的 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\),(2) 錯誤；(3) \(A\) 沿赤道移動到 \(B\) 的最短路程對應的圓心角為 \(60^{\circ}\),弧長為 \(\frac{1}{6}\times2\pi R=\frac{\pi R}{3}\),\(D\) 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線移動到北極點路徑長對應的圓心角為 \(60^{\circ}\),弧長為 \(\frac{1}{6}\times2\pi R=\frac{\pi R}{3}\),兩者相等,(3) 正確；(4) \(D\) 沿北緯 \(30^{\circ}\) 線移動到 \(E\) 的路徑長對應的圓心角為 \(180^{\circ}\),所在圓半徑為 \(R\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}R\),弧長為 \(\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}R\),\(D\) 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線到北極點再沿東經 \(180^{\circ}\) 經線到 \(E\) 的路徑長總和為 \(2\times\frac{1}{6}\times2\pi R=\frac{2\pi R}{3}\),兩者不相等,(4) 錯誤；(5) \(A\)、\(C\) 經度差為 \(90^{\circ}\),通過北極點與 \(A\) 點的直線與通過北極點與 \(C\) 點的直線互相垂直,(5) 正確。答案：(1)(3)(5) 報錯
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1. 對兩式取常用對數（以10為底）：
- 由 \( ab^2 = 10^5 \)，得 \( \log a + 2\log b = 5 \)  （記為式1）
- 由 \( a^2b = 10^3 \)，得 \( 2\log a + \log b = 3 \)  （記為式2）

2. 解聯立方程：
- 式1×2：\( 2\log a + 4\log b = 10 \)
- 減去式2：\( (2\log a + 4\log b) - (2\log a + \log b) = 10 - 3 \)
- 化簡得：\( 3\log b = 7 \implies \log b = \frac{7}{3} \)

故 \( 13-1 = 7 \)，\( 13-2 = 3 \)，答案為 \( \frac{7}{3} \)。 報錯
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設等差數列公差為 \(d\),\(b = a + d\),\(c = a + 2d\)。因為 \(1\leqslant a\lt b\lt c\leqslant20\),\(c=a + 2d\leqslant20\),\(a\geqslant1\),\(d\geqslant1\)。當 \(d = 1\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 2\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(18\),有 \(18\) 種；當 \(d = 2\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 4\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(16\),有 \(16\) 種；\(\cdots\)；當 \(d = 9\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 18\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(2\),有 \(2\) 種。總取法為 \(2 + 4+\cdots+18=\frac{9\times(2 + 18)}{2}=90\) 種。即 \(\underline{○14 - 1}=90\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。 報錯
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