104以前學測數學

在甲、乙取出不同色球的條件下,戊取得紅球的機率為 \(\frac{1}{2}\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案

### 步驟1：轉化問題
設玫瑰、百合、菊花、向日葵分別種 \( x, y, z, w \) 盆，滿足 \( x + y + z + w \leq 8 \)，且 \( x, y, z, w \geq 1 \)。
令 \( x' = x - 1 \)，\( y' = y - 1 \)，\( z' = z - 1 \)，\( w' = w - 1 \)（則 \( x', y', z', w' \geq 0 \)），問題轉化為求 \( x' + y' + z' + w' \leq 4 \)（因為 \( 8 - 4 = 4 \)）的非負整數解的個數。

### 步驟2：分情況討論（按剩餘盆數 \( k = x' + y' + z' + w' \)，\( k = 0,1,2,3,4 \)）
- 當 \( k = 0 \) 時：只有 \( 1 \) 種方法（四盆花各一盆）。
- 當 \( k = 1 \) 時：從4種花中選1種多植1盆，有 \( \binom{4}{1} = 4 \) 種方法。
- 當 \( k = 2 \) 時：
- 選1種花多植2盆：\( \binom{4}{1} = 4 \) 種；
- 選2種花各多植1盆：\( \binom{4}{2} = 6 \) 種；
共 \( 4 + 6 = 10 \) 種。
- 當 \( k = 3 \) 時：
- 選1種花多植3盆：\( \binom{4}{1} = 4 \) 種；
- 選1種花多植2盆、另1種花多植1盆：\( \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 12 \) 種；
共 \( 4 + 12 = 16 \) 種。
- 當 \( k = 4 \) 時：
- 選1種花多植4盆：\( \binom{4}{1} = 4 \) 種；
- 選1種花多植3盆、另1種花多植1盆：\( \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 12 \) 種；
- 選2種花各多植2盆：\( \binom{4}{2} = 6 \) 種；
- 選1種花多植2盆、另2種花各多植1盆：\( \binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 \) 種；
共 \( 4 + 12 + 6 + 12 = 34 \) 種。

### 步驟3：求和
將所有情況相加：\( 1 + 4 + 10 + 16 + 34 = 65 \) 種。

综上，小燦買盆栽的方法共有 \(\boxed{65}\) 種。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案

### 略解
要解決此問題，需先求三平面兩兩相交的直線方程，再求三角形的三個頂點，最後計算各邊長並求和得到周長。
#### 步驟1：求三條交線的方程
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x = 2 \) 的交線**：
將 \( x = 2 \) 代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( 2 - y + z = 0 \implies z = y - 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} x = 2 \\ z = y - 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = 2, y = t, z = t - 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x - y = -2 \) 的交線**：
由 \( x - y = -2 \implies y = x + 2 \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (x + 2) + z = 0 \implies z = 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = x + 2 \\ z = 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = t + 2, z = 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x + y = 2 \) 的交線**：
由 \( x + y = 2 \implies y = 2 - x \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (2 - x) + z = 0 \implies z = 2 - 2x \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = 2 - x \\ z = 2 - 2x \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = 2 - t, z = 2 - 2t \)，\( t \) 為參數）。
#### 步驟2：求三角形的三個頂點
- **頂點 \( A \)**：交線 \( x = 2 \) 與 \( y = x + 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = x + 2 \)，得 \( y = 4 \)，再代入 \( z = 2 \)，故 \( A(2, 4, 2) \)。
- **頂點 \( B \)**：交線 \( y = x + 2 \) 與 \( y = 2 - x \) 的交點。
聯立 \( y = x + 2 \) 和 \( y = 2 - x \)，得 \( x + 2 = 2 - x \implies x = 0 \)，則 \( y = 2 \)，\( z = 2 \)，故 \( B(0, 2, 2) \)。
- **頂點 \( C \)**：交線 \( y = 2 - x \) 與 \( x = 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = 2 - x \)，得 \( y = 0 \)，再代入 \( z = y - 2 \)，得 \( z = -2 \)，故 \( C(2, 0, -2) \)。
#### 步驟3：計算各邊的長度
- **邊長 \( AB \)**：
由距離公式 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)，得
\[
AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
- **邊長 \( BC \)**：
\[
BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]
- **邊長 \( CA \)**：
\[
CA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
#### 步驟4：計算周長
周長 \( = AB + BC + CA = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)。

對比形式 \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)（其中 \( b < d \)），可得 \( a = 6 \)，\( b = 2 \)，\( c = 2 \)，\( d = 6 \)。 综上，\( a = \boxed{6} \)，\( b = \boxed{2} \)，\( c = \boxed{2} \)，\( d = \boxed{6} \)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案

### 略解
要解決此問題，可透過**設點座標、利用直線方程與向量關係**建立方程組求解，步驟如下：

1. **設點座標**
設 \( P(x, y) \)，\( Q_1(a, b) \)（在 \( L_1 \) 上），\( Q_2(c, d) \)（在 \( L_2 \) 上）。
- 因 \( Q_1 \) 在 \( L_1: x + 2y = 0 \) 上，故 \( a + 2b = 0 \)；
- 因 \( Q_2 \) 在 \( L_2: 3x - 5y = 0 \) 上，故 \( 3c - 5d = 0 \)。

2. **由向量關係列方程**
- 由 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，得 \( \begin{cases} x - a = -7 \\ y - b = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} a = x + 7 \\ b = y - 9 \end{cases} \)；
- 由 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，得 \( \begin{cases} x - c = -6 \\ y - d = -8 \end{cases} \implies \begin{cases} c = x + 6 \\ d = y + 8 \end{cases} \)。

3. **代入直線方程解聯立**
- 將 \( a = x + 7 \)、\( b = y - 9 \) 代入 \( a + 2b = 0 \)，得：
\[
(x + 7) + 2(y - 9) = 0 \implies x + 2y = 11 \tag{1}
\]
- 將 \( c = x + 6 \)、\( d = y + 8 \) 代入 \( 3c - 5d = 0 \)，得：
\[
3(x + 6) - 5(y + 8) = 0 \implies 3x - 5y = 22 \tag{2}
\]
- 聯立 \( (1)(2) \)，由 \( (1) \) 得 \( x = 11 - 2y \)，代入 \( (2) \)：
\[
3(11 - 2y) - 5y = 22 \implies 33 - 6y - 5y = 22 \implies 11y = 11 \implies y = 1
\]
再代入 \( x = 11 - 2y \)，得 \( x = 11 - 2 \times 1 = 9 \)。

故 \( P \) 點的坐標為 \( \boxed{(9, 1)} \)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案

複利本利和公式 \(A = P(1 + r)^n\) ,其中 \(P = 3000000\) , \(r = 0.03\) , \(n = 3\) ,算出複利本利和 \(A_1 = 3000000×(1 + 0.03)^3 = 3278181\) 元；單利本利和公式 \(A = P(1 + rn)\) ,算出單利本利和 \(A_2 = 3000000×(1 + 0.03×3)=3270000\) 元。少繳金額為 \(A_1 - A_2 = 3278181 - 3270000 = 8181\) 元。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案

第一次調動：A據點剩 \(36×(1 - \frac{1}{6}-\frac{1}{6}) = 24\) 位；B據點有 \(36×\frac{1}{6}+36×(1 - \frac{1}{6}-\frac{1}{3}) = 24\) 位；C據點有 \(36×\frac{1}{6}+36×\frac{1}{6}+36×(1 - \frac{1}{6}-\frac{1}{6}) = 36\) 位。第二次調動：A據點有 \(24×(1 - \frac{1}{6}-\frac{1}{6}) + 24×\frac{1}{6}+36×\frac{1}{6}=24\) 位；B據點有 \(24×\frac{1}{6}+24×(1 - \frac{1}{6}-\frac{1}{3})+36×\frac{1}{6}=24\) 位；C據點有 \(24×\frac{1}{6}+24×\frac{1}{6}+36×(1 - \frac{1}{6}-\frac{1}{6}) = 32\) 位。所以答案是32位。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案