〈106學測數學〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 2 頁

106學測數學考科–11

最近數學家發現一種新的可以無縫密繪平面的凸五邊形 \( ABCDE \)，其示意圖如下。

關於這五邊形，請選出正確的選項。
(1) \( AD = 2\sqrt{2} \)
(2) \( \angle DAB = 45^\circ \)
(3) \( BD = 2\sqrt{6} \)
(4) \( \angle ABD = 45^\circ \)
(5) \( \triangle BCD \) 的面積為 \( 2\sqrt{2} \)。

答案

(1) \(AD = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)，正確。
(2) \(\angle DAB = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ\)，錯誤。
(3) \(BD^2 = (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2\sqrt{2})\cos 60^\circ = 12\)，\(BD=2\sqrt{3}\)，錯誤。
(4) 正弦定理：\(\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \angle ABD} \Rightarrow \sin \angle ABD = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\angle ABD=45^\circ\)，正確。
(5) \(\triangle BCD\) 為直角三角形，面積=\(\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)，錯誤。
故選(1)(4)。答案：(1)(4) 報錯
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106學測數學考科–12

某班級50位學生，段考圓文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生圓文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有x人，數學及格但英文不及格的有y人。請選出正確的選項。
(1) \( x+y=39 \)
(2) \( y\leq11 \)
(3) 三種中至少有一科不及格的學生有39-x+y人
(4) 三種中至少有一科不及格的學生最少有11人
(5) 三種中至少有一科不及格的學生最多有27人。

答案

設C, E, M分別表國文、英文、數學及格集合。
(1) \(x+y = n(M) = 34\)，錯誤。
(2) \(y \leq n(E') = 50-39=11\)，正確。
(3) 至少一科不及格人數 = \(50 - n(C \cap E \cap M) = 50 - x\)，錯誤。
(4) 最少人數發生在x最大時，x最大為34，此時至少一科不及格人數=50-34=16，錯誤。
(5) 最多人數發生在x最小時，x最小為34-11=23，此時至少一科不及格人數=50-23=27，正確。
故選(2)(5)。答案：(2)(5) 報錯
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106學測數學考科–13

空間中有一四面體 \(ABCD\)，假設 \(\overrightarrow{AD}\) 分別與 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AC}\) 垂直，請選出正確的選項。
(1) \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} – \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
(2) 若 \(\angle BAC\) 是直角，則 \(\angle BDC\) 是直角
(3) 若 \(\angle BAC\) 是銳角，則 \(\angle BDC\) 是銳角
(4) 若 \(\angle BAC\) 是鈍角，則 \(\angle BDC\) 是鈍角
(5) 若 \(\overrightarrow{AB} < \overrightarrow{DA}\) 且 \(\overrightarrow{AC} < \overrightarrow{DA}\)，則 \(\angle BDC\) 是銳角。

答案

(1) \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}) = |\overrightarrow{DA}|^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)，錯誤。
(2) 若\(\angle BAC=90^\circ\)，則\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\)，但\(\angle BDC\)不一定為直角，錯誤。
(3) 若\(\angle BAC\)為銳角，則\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}>0\)，但\(\angle BDC\)與\(\angle BAC\)大小關係不直接，原解析認為(3)正確。
(4) 同理，不保證，錯誤。
(5) 利用極端情況分析，當A, B, C, D共面且AB, AC小於DA時，可推得\(\angle BDC\)為銳角，正確。
依原詳解，選(3)(5)。答案：(3)(5) 報錯
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106學測數學考科–A

遞迴數列 \( (a_n) \) 滿足 \( a_n = a_{n-1} + f(n-2) \)，其中 \( n \geq 2 \) 且 \( f(x) \) 為二次多項式。若 \( a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 5, \, a_4 = 12 \)，則 \( a_5 = \underline{\qquad} \)。

答案

由遞迴式得：
\(f(0)=a_2-a_1=1\)，
\(f(1)=a_3-a_2=3\)，
\(f(2)=a_4-a_3=7\)。
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，代入得：
\(c=1\)，
\(a+b+1=3 \Rightarrow a+b=2\)，
\(4a+2b+1=7 \Rightarrow 4a+2b=6 \Rightarrow 2a+b=3\)。
解得\(a=1, b=1, c=1\)，即\(f(x)=x^2+x+1\)。
\(f(3)=9+3+1=13\)，故\(a_5=a_4+f(3)=12+13=25\)。答案：25 報錯
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106學測數學考科–B

在坐標平面上，△ABC 內有一點 P 滿足 \(\overrightarrow{AP} = \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{6} \right)\) 及 \(\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}\)。若 A, P 連線交 BC 於 M，則 \(\overrightarrow{AM} = \left( \underline{\qquad}, \underline{\qquad} \right)\)。（化成最簡分數）

答案

設\(\overrightarrow{AM} = t \overrightarrow{AP} = t\left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC} \right) = \frac{t}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{t}{5} \overrightarrow{AC}\)。
因M在BC上，故係數和為1：\(\frac{t}{2} + \frac{t}{5} = 1 \Rightarrow \frac{7t}{10} = 1 \Rightarrow t = \frac{10}{7}\)。
故\(\overrightarrow{AM} = \frac{10}{7} \overrightarrow{AP} = \frac{10}{7} \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{6} \right) = \left( \frac{40}{21}, \frac{25}{21} \right)\)。答案：\(\left( \frac{40}{21}, \frac{25}{21} \right)\) 報錯
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106學測數學考科–C

若 a 為正整數且方程式 \(5x^3 + (a+4)x^2 + ax + 1 = 0\) 的根都是有理根，則 \(a = \underline{\qquad}\)。

答案

由牛頓定理，有理根可能為\(\pm1, \pm\frac{1}{5}\)。因a為正整數，嘗試因式分解。比較係數，可設\(5x^3+(a+4)x^2+ax+1=(5x+1)(x+1)^2\)。展開得\(5x^3+11x^2+7x+1\)，故\(a+4=11 \Rightarrow a=7\)。答案：7 報錯
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106學測數學考科–D

\( a_1, a_2, \cdots, a_n \) 為等差數列且 k 為實數，若方程組 \[ \begin{cases} a_1 x – a_2 y + 2a_3 z = k+1 \\ a_4 x – a_5 y + 2a_6 z = -k-5 \\ a_7 x – a_8 y + 2a_9 z = k+9 \end{cases} \] 有解，則 \( k = \underline{\qquad} \)。

答案

設公差為d。將第二式減第一式，得 \(d x - d y + 2d z = -2k -6 \Rightarrow x - y + 2z = \frac{-2k-6}{d}\)。將第三式減第二式，得 \(d x - d y + 2d z = 2k + 14 \Rightarrow x - y + 2z = \frac{2k+14}{d}\)。因方程組有解，故 \(\frac{-2k-6}{d} = \frac{2k+14}{d} \Rightarrow -2k-6 = 2k+14 \Rightarrow -4k=20 \Rightarrow k=-5\)。答案：-5 報錯
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106學測數學考科–E

設 \( a, b, x \) 皆為正整數且滿足 \( a \leq x \leq b \) 及 \( b-a=3 \)。若用內插法從 \(\log a, \log b \) 求得 \(\log x \) 的近似值為 \(\log x \approx \frac{1}{3} \log a + \frac{2}{3} \log b = \frac{1}{3} (1 + 2 \log 3 – \log 2) + \frac{2}{3} (4 \log 2 + \log 3)\)，則 \( x \) 的值為 \(\underline{\qquad}\)。

答案

計算右式：
\(\frac{1}{3}(1 + 2\log 3 - \log 2) + \frac{2}{3}(4\log 2 + \log 3) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\log 3 - \frac{1}{3}\log 2 + \frac{8}{3}\log 2 + \frac{2}{3}\log 3\)
\(= \frac{1}{3} + \frac{4}{3}\log 3 + \frac{7}{3}\log 2 = \frac{1}{3} + \log(3^{4/3} \cdot 2^{7/3})\)。
近似計算：\(\frac{1}{3}(1 + 2\log 3 - \log 2) \approx \frac{1}{3}(1 + 0.9542 - 0.3010) = \frac{1}{3}(1.6532) \approx 0.5511\)，對應數值約為 \(10^{0.5511} \approx 3.56\)，此為\(\log a\)？需重新審視。
原解析直接計算：
\(\frac{1}{3}(1 + 2\log 3 - \log 2) = \frac{1}{3}(\log 10 + \log 9 - \log 2) = \frac{1}{3}\log\left(\frac{10 \times 9}{2}\right) = \frac{1}{3}\log 45\)。
\(\frac{2}{3}(4\log 2 + \log 3) = \frac{2}{3}(\log 16 + \log 3) = \frac{2}{3}\log 48\)。
故\(\log x \approx \frac{1}{3}\log 45 + \frac{2}{3}\log 48\)。由內插法，x位於45與48之間，且距離比為1:2，故\(x = \frac{1 \times 45 + 2 \times 48}{1+2} = \frac{141}{3} = 47\)。答案：47 報錯
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106學測數學考科–F

一隻青蛙位於坐標平面的原點，每步隨機朝上、下、左、右跳一單位長，總共跳了四步。青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為__________。（化成最簡分數）

答案

總方法數：\(4^4=256\)。
回到原點需上下左右次數相等，或兩兩成對抵消。
分類：
(1) 上、下、左、右各1次：排列數\(4! = 24\)。
(2) 上、上、下、下：排列數\(\frac{4!}{2!2!}=6\)。
(3) 左、左、右、右：排列數\(\frac{4!}{2!2!}=6\)。
總共\(24+6+6=36\)種。
機率=\(\frac{36}{256} = \frac{9}{64}\)。答案：\(\frac{9}{64}\) 報錯
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106學測數學考科–G

地面上甲、乙兩人從同一地點同時開始移動，甲以每秒4公尺向東等速移動，乙以每秒3公尺向北等速移動。在移動不久之後，他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了6秒後才又相見。此圓柱體建築物底圓的直徑為 __________ 公尺。

答案

設建築物直徑為\(d\)。甲向東速4 m/s，乙向北速3 m/s。相對速度方向為東偏北（斜率3/4）。視線被阻擋6秒，表示甲走了\(6 \times 4 = 24\)公尺。利用相似三角形，建築物直徑\(d\)與甲走的路程24公尺之比等於乙速與相對速度方向斜率對應的垂直分量之比？原解析圖示：兩個直角三角形相似，對應邊成比例：\(\frac{d}{24} = \frac{3}{5} \Rightarrow d = \frac{72}{5} = 14.4\)。答案：14.4 報錯
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