108學測數學

(1) \(280/500=56\% \lt 60\%\)。
(2) 機率為\(C^{220}_2 / C^{500}_2 \approx (220/500)^2 \lt 0.25\)。
(3) 正確，抽兩人一為一年內、一為一年前，機率為\(\frac{C^1_{45} C^1_{75}}{C^2_{120}} = \frac{45 \times 75}{120 \times 119}\)。
(4) 未曾篩檢比率為\((500-120)/500=76\% \gt 75\%\)。
(5) 設60歲以上篩檢x人，則\(x/280 = 3.5 \times (120-x)/220\)，解得\(x=98 \gt 90\)。
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設\(f_i(x) = g(x)q_i(x) + r_i(x)\)，次數\(\deg(r_i) \lt 2\)。
(1) \(-f_1 = g(-q_1) + (-r_1)\)，餘式為\(-r_1\)。
(2) \(f_1+f_2 = g(q_1+q_2) + (r_1+r_2)\)，餘式為\(r_1+r_2\)。
(3) \(r_1 r_2\)可能為二次，不一定是餘式。
(4) 除式變為\(-3g\)，餘式仍為\(r_1\)。
(5) \(f_1 r_2 - f_2 r_1 = g(q_1 r_2 - q_2 r_1)\)，可被\(g\)整除。
故選(1)(2)(5)。答案：(1)(2)(5) 報錯
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求法向量：\(\overset{\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\rightharpoonup}{OB} = (1,2,3) \times (-1,2,3) = (0,-6,4)\)，可取法向量\(\vec{n}=(0,3,-2)\)。平面方程式：\(3y-2z=0\)。
(1) \((0,3,2) \cdot (0,3,-2) = 6-4=2 \neq 0\)，不垂直。
(2) \(y\)平面法向量\((0,1,0)\)，與\(\vec{n}\)內積為3≠0，不垂直。
(3) 代入得\(3(4)-2(6)=12-12=0\)，在平面上。
(4) \(x\)軸上點滿足\(y=0,z=0\)，代入方程式成立，故包含x軸。
(5) 距離\(d=\frac{|3(1)-2(1)|}{\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}} \neq 1\)。
故選(3)(4)。答案：(3)(4) 報錯
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展開得：\(3x - y + 3 = 6 \Rightarrow 3x - y = 3\)；\(2x + 4y - 1 = -6 \Rightarrow 2x + 4y = -5\)。解聯立得\(x=\frac{1}{2}, y=-\frac{3}{2}\)，故\(x+3y=\frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -4\)。答案：-4 報錯
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設只領甲乙為\(x\)，只領乙丙為\(y\)，只領甲丙為\(z\)，領三案為224。則：
甲：\(x+z+224=765\)
乙：\(x+y+224=537\)
丙：\(y+z+224=648\)
解聯立得\(x+y+z=639\)，再得\(x=639-424=215\)。答案：215 報錯
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正立方體空間對角線長為\(\sqrt{3}a\)，此對角線需跨過兩平面距離6，故\(\sqrt{3}a \geq 6 \Rightarrow a \geq \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)。最小邊長為\(2\sqrt{3}\)。答案：\(2\sqrt{3}\) 報錯
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