109學測數學

空間中有相異四點 \( A, B, C, D \)，已知內積 \(\overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AC} = \overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AD}\)。試選出正確的選項。
(1) \(\overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{CD} = 0\)
(2) \(\overset{\rightharpoonup}{AC} = \overset{\rightharpoonup}{AD}\)
(3) \(\overset{\rightharpoonup}{AB} \) 與 \(\overset{\rightharpoonup}{CD} \) 平行
(4) \(\overset{\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\rightharpoonup}{BC} = 0\)
(5) \(A, B, C, D \) 四點在同一平面上。

令 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = I + A + A^{-1}\)，試選出代表 \(BA\) 的選項。
(1) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}\)

試問數線上有多少個整數點與點 \(\sqrt{101}\) 的距離小於 5，但與點 \(\sqrt{38}\) 的距離大於 3？
(1) 1 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 10 個。

連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 \(a, b\)。試問發生 \(\log(a^2) + \log b \gt 1\) 的機率為多少？
(1) \(\frac{1}{3}\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{2}{3}\) (4) \(\frac{3}{4}\) (5) \(\frac{5}{6}\)。

坐標平面上，函數圖形 \(y = -\sqrt{3}x^3\) 上有兩點 \(P, Q\) 到原點距離皆為 1。已知點 \(P\) 坐標為 \((\cos\theta, \sin\theta)\)，試問點 \(Q\) 坐標為何？
(1) \((\cos(-\theta), \sin(-\theta))\)
(2) \((-\cos\theta, \sin\theta)\)
(3) \((\cos(-\theta), -\sin\theta)\)
(4) \((-\cos\theta, \sin(-\theta))\)
(5) \((\cos\theta, -\sin\theta)\)。

有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金100元；若兩個條件都滿足，則共得200元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為1,3，且所得獎金為100元，則未知的骰子點數可能為何？
(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6。

在坐標平面上，有一通過原點O的直線L，以及一半徑為2，圓心為原點O的圓T。P,Q為T上相異2點，且OP,OQ分別與L所夾的銳角皆為30°，試選出內積OP·OQ之值可能發生的選項。
(1) \( \frac{2\sqrt{3}}{5} \) (2) \(-2\sqrt{3}\) (3)0 (4) -2 (5) -4。

考慮多項式\( f(x) = 3x^4 + 11x^2 – 4 \)，試選出正確的選項。
(1) y = f(x)的圖形和y軸交點的y坐標小於0
(2) f(x) = 0有4個實根
(3) f(x) = 0至少有一個有理根
(4) f(x) = 0有一根介於0與1之間
(5) f(x) = 0有一根介於1與2之間。