平面上有一梯形 \(ABCD\)，其上底 \(AB = 10\)，下底 \(CD = 15\)，且腰長 \(AD = BC + 1\)。
試選出正確的選項。
(1) \(\angle A > \angle B\)
(2) \(\angle B + \angle D < 180^\circ\)
(3) \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} < 0\)
(4) \(\overrightarrow{BC}\) 的長可能是 2
(5) \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} < 30\)
設 \( P(X) \) 表示事件 X 發生的機率，而 \( P(X|Y) \) 表示在事件 Y 發生的條件下，事件 X 發生的機率。今有 2 顆黑球、2 顆白球、3 顆紅球共 7 顆大小相同的球排成一列。設事件 A 為 2 顆黑球相鄰的事件，事件 B 為 2 顆黑球不相鄰的事件，而事件 C 為任 2 顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。
(1) \( P(A) > P(B) \)
(2) \( P(C) = \frac{2}{7} \)
(3) \( 2P(C|A) + 5P(C|B) < 2 \)
(4) \( P(C|A) > 0.2 \)
(5) \( P(C|B) > 0.3 \)
總排列數 7!。
(1)錯誤：P(A)= (6!×2!)/7! = 2/7, P(B)=1-2/7=5/7, 故 P(A)
(3)錯誤：由全機率公式 P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) ⇒ (2/7)P(C|A)+(5/7)P(C|B)=2/7 ⇒ 2P(C|A)+5P(C|B)=2。
(4)錯誤：P(C|A)= n(C∩A)/n(A) = [3!×2!×C(5,3)×3!] / (6!×2!) = 1/5 = 0.2。
(5)正確：代入(3)式，2×(1/5)+5P(C|B)=2 ⇒ P(C|B)=8/25=0.32>0.3。(2)(5) 報錯
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設多項式函數 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( a, b, c \) 均為有理數。試選出正確的選項。
(1) 函數 \( y = f(x) \) 與拋物線 \( y = x^2 + 100 \) 的圖形可能沒有交點
(2) 若 \( f(0)f(1) < 0 < f(0)f(2) \)，則方程式 \( f(x) = 0 \) 必有三個相異實根
(3) 若 \( 1 + 3i \) 是方程式 \( f(x) = 0 \) 的複數根，則方程式 \( f(x) = 0 \) 有一個有理根
(4) 存在有理數 \( a, b, c \) 使得 \( f(1), f(2), f(3), f(4) \) 依序形成等差數列
(5) 存在有理數 \( a, b, c \) 使得 \( f(1), f(2), f(3), f(4) \) 依序形成等比數列
坐標空間中有兩條直線 \( L_1 \)、\( L_2 \) 與一平面 \( E \)，其中直線 \( L_1 : \frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} \)，而 \( L_2 \) 的參數式為 \( \begin{cases} x=1 \\ y=1+2t \\ z=1+3t \end{cases} \) (t為實數)。若 \( L_1 \) 落在 \( E \) 上，且 \( L_2 \) 與 \( E \) 不相交，則 \( E \) 的方程式為 \( x – \underline{\qquad\qquad} y + \underline{\qquad\qquad} z = \underline{\qquad\qquad} \)。
在坐標平面上，\( \Gamma \) 是邊長為 4 的正方形，其中心位在點 (1, 1)，且各邊與坐標軸平行。已知函數 \( y = a \times 2^x \) 的圖形與 \( \Gamma \) 相交，其中 \( a \) 為實數，則 \( a \) 的最大可能範圍為 \(\underline{\qquad\qquad} \leq a \leq \underline{\qquad\qquad}\)。
將 \((\sqrt[3]{49})^{100}\) 寫成科學記號 \((\sqrt[3]{49})^{100} = a \times 10^n\)，其中 \(1 \leq a < 10\)，且 \(n\) 為正整數。若 \(a\) 的整數部分為 \(m\)，則數對 \((m,n) = (\underline{\qquad\qquad}, \underline{\qquad\qquad})\)。
如右圖，機器人在地面上從一點 \(P\) 出發，按照以下規則移動：先朝某方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉 \(45^\circ\)；朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉 \(90^\circ\)；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉 \(45^\circ\)；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉 \(90^\circ\) ……，以此類推。已知機器人移動的路徑會形成一個封閉區域，則此封閉區域的面積為 \(\underline{\qquad\qquad} + \underline{\qquad\qquad} \sqrt{\qquad\qquad}\) 平方公尺。（化成最簡根式）
在四面體 \(ABCD\) 中，\(\overline{AB} = AC = AD = 4\sqrt{6} \cdot BD = CD = 8\)，且 \(\cos \angle BAC = \frac{1}{3}\)，則點 \(D\) 到平面 \(ABC\) 的距離為 \(\underline{\qquad\qquad}\)。（化成最簡根式）
