112學測數學A

若在計算器中鍵入某正整數 \( N \)，接著連按「\(\sqrt{}\)」鍵（取正平方根）3次，視窗顯示得到答案為2，則 \( N \) 等於下列哪一個選項？
(1) \( 2^3 \)
(2) \( 2^4 \)
(3) \( 2^6 \)
(4) \( 2^8 \)
(5) \( 2^{12} \)

將數字1、2、3、⋯⋯、9等9個數字排成九位數（數字不得重複），使得前5位從左至右遞增，且後5位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？
\[(1) \quad \frac{81}{414!} \quad (2) \quad \frac{81}{513!} \quad (3) \quad \frac{91}{514!} \quad (4) \quad \frac{81}{51} \quad (5) \quad \frac{91}{51}\]

已知坐標空間中 \( P \cdot Q \cdot R \) 為平面 \( 2x-3y+5z=\sqrt{7} \) 上不共線三點。
令 \( \overrightarrow{PQ}=(a_1, b_1, c_1) \)，\( \overrightarrow{PR}=(a_2, b_2, c_2) \)。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。
(1)
\[\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(2)
\[\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(3)
\[\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(4)
\[\begin{vmatrix}
-1 & -1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(5)
\[\begin{vmatrix}
-1 & -1 & -1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]

坐標空間中，考慮邊長為 1 的正立方體，固定一頂點 \( O \)。從 \( O \) 以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為 \( P \cdot Q \)，試問所得的內積 \( \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} \) 之期望值為下列哪一個選項？
(1) \(\frac{4}{7}\) (2) \(\frac{5}{7}\) (3) \(\frac{6}{7}\) (4) \(\frac{1}{7}\) (5) \(\frac{8}{7}\)

某公司有甲、乙兩新進員工，兩人同時問人職且起薪相同。公司承諾給甲、乙兩員工調薪的方式如下：
甲：工作滿 3 個月，下個月開始月薪增加 200 元；以後再每滿 3 個月皆依此方式調薪。
乙：工作滿 12 個月，下個月開始月薪增加 1000 元；以後再每滿 12 個月皆依此方式調薪。
根據以上敘述，試選出正確的選項。
(1) 甲工作滿 8 個月後，第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 600 元
(2) 工作滿一年後，第 13 個月甲的月薪比乙的月薪高
(3) 工作滿 18 個月後，第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高
(4) 工作滿 18 個月時，甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水少
(5) 工作滿兩年後，在第 3 年的 12 個月中，恰有 3 個月甲的月薪比乙的月薪高

某抽獎遊戲單次中獎機率為0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 \( n \)，令 \( p_n \) 為玩此遊戲 \( n \) 次至少中獎1次的機率。試選出正確的選項。
(1) \( p_{n+1} \gt p_n \)
(2) \( p_3 = 0.3 \)
(3) \( \langle p_n \rangle \) 為等差數列
(4)玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 \( p_2 – p_1 \)
(5)玩此遊戲 \( n \) 次且 \( n \geq 2 \) 時，至少中獎2次的機率等於 \( 2p_n \)

設 \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) 是首項為3且公比為\(3\sqrt{3}\)的等比數列。試選出滿足不等式
\[\log_3 a_1 – \log_3 a_2 + \log_3 a_3 – \log_3 a_4 + \cdots + (-1)^{n+1} \log_3 a_n \gt 18\]
的項數 \( n \) 之可能選項。
(1) 23 (2) 24 (3) 25 (4) 26 (5) 27

考慮坐標平面上的直線 \( L : 5y + (2k-4)x – 10k = 0 \) (其中 \( k \) 為一實數)，以及長方形 \( OABC \)，其頂點坐標為 \( O(0, 0) \)、\( A(10, 0) \)、\( B(10, 6) \)、\( C(0, 6) \)。設 \( L \) 分別交直線 \( OC \)、直線 \( AB \) 於點 \( D \)、\( E \)。試選出正確的選項。
(1)當 \( k = 4 \) 時，直線 \( L \) 通過點 \( A \)
(2)若直線 \( L \) 通過點 \( C \)，則 \( L \) 的斜率為 \( -\frac{5}{2} \)
(3)若點 \( D \) 在線段 \( OC \) 上，則 \( 0 \leq k \leq 3 \)
(4)若 \( k = \frac{1}{2} \)，則線段 \( DE \) 在長方形 \( OABC \) 內部（含邊界）
(5)若線段 \( DE \) 在長方形 \( OABC \) 內部（含邊界），則 \( L \) 的斜率可能為 \( \frac{3}{10} \)