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112學測數學A考科-11

坐標平面上，設 A、B 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 90° 的旋轉矩陣。設 C、D 分別表示以直線 \(x=y\)、\(x=-y\) 為繞射軸的繞射矩陣。試選出正確的選項。
(1) A、C 將點 (1,0) 映射到同一點
(2) \(A=-B\)
(3) \(C=D^{-1}\)
(4) \(AB=CD\)
(5) \(AC=BD\)

答案

\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \), \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \), \( D = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)
(1)×：\( A(1,0) = (0,-1) \), \( C(1,0) = (0,1) \)
(2)○：\( A = -B \)
(3)×：\( CD = -I \Rightarrow C = -D^{-1} \)
(4)×：\( AB = I \), \( CD = -I \)
(5)○：\( AC = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = BD \)
故選(2)(5) 報錯
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112學測數學A考科-12

令 \(f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x\)，試選出正確的選項。
(1) 純直線 \(x = \frac{\pi}{6}\) 為 \(y = f(x)\) 圖形的對稱軸
(2) 若純直線 \(x = a\) 和 \(x = b\) 均為 \(y = f(x)\) 圖形的對稱軸，則 \(f(a) = f(b)\)
(3) 在區間 \([0, 2\pi)\) 中僅有一個實數 \(x\) 滿足 \(f(x) = \sqrt{3}\)
(4) 在區間 \([0, 2\pi)\) 中滿足 \(f(x) = \frac{1}{2}\) 的所有實數 \(x\) 之和不超過 \(2\pi\)
(5) \(y = f(x)\) 的圖形可由 \(y = 4 \sin^2 \frac{x}{2}\) 的圖形經過當(左右、上下)平移得到

答案

\( f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \)
(1)○：\( x = \frac{\pi}{6} \) 為對稱軸
(2)×：例 \( a = \frac{\pi}{6} \), \( b = \frac{7\pi}{6} \), \( f(a) = 2 \), \( f(b) = -2 \)
(3)×：在 \([0, 2\pi)\) 有兩個實數滿足 \( f(x) = \sqrt{3} \)
(4)×：兩個實數和為 \( \frac{7\pi}{3} \gt 2\pi \)
(5)○：\( y = 4 \sin^2 \frac{x}{2} = -2 \cos x + 2 = 2 \sin(x - \frac{5\pi}{6}) + 2 \) 可由 \( f(x) \) 平移得到
故選(1)(5) 報錯
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112學測數學A考科-13

某間新開幕飲料專賣店推出果汁、奶茶、咖啡三種飲料，前 3 天各種飲料的銷售數量 (單位：杯) 與收入總金額 (單位：元) 如下表，例如第一天果汁、奶茶、咖啡的銷售量分別為 60 杯、80 杯與 50 杯，收入總金額為 12900 元。已知同一種飲料每天的售價皆相同，則咖啡每杯的售價為 __________ 元。

	果汁 (杯)	奶茶 (杯)	咖啡 (杯)	收入總金額 (元)
第 1 天	60	80	50	12900
第 2 天	30	40	30	6850
第 3 天	50	70	40	10800

答案

設果汁每杯 \( x \) 元，奶茶每杯 \( y \) 元，咖啡每杯 \( z \) 元
列式：
\( 60x + 80y + 50z = 12900 \)
\( 30x + 40y + 30z = 6850 \)
\( 50x + 70y + 40z = 10800 \)
由第二式×2減第一式得 \( z = 80 \)
故咖啡每杯售價為 80 元報錯
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112學測數學A考科-14

設 a，b 為實數 (其中 a＞0)，若多項式 \( ax^2 + (2a+b)x – 12 \) 除以 \( x^2 + (2-a)x – 2a \) 所得餘式為 6，則數對 (a , b)＝ ( __________ , __________ )

答案

由除法原理：
\( ax^2 + (2a+b)x - 12 = a[x^2 + (2-a)x - 2a] + 6 \)
比較係數：
\( 2a+b = a(2-a) \)
\( -12 = -2a^2 + 6 \)
由第二式得 \( 2a^2 = 18 \Rightarrow a = 3 \) (負不合)
代入第一式得 \( 6 + b = 3(2-3) = -3 \Rightarrow b = -9 \)
故數對為 (3, -9) 報錯
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112學測數學A考科-15

設 \( O \cdot A \cdot B \) 為坐標平面上不共線三點，其中向量 \(\overrightarrow{OA}\) 垂直 \(\overrightarrow{OB}\)。若 \( C \cdot D \) 兩點在直線 \( AB \) 上，滿足 \(\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} \cdot 3AD = 8BD\)，且 \(\overrightarrow{OC}\) 垂直 \(\overrightarrow{OD}\)，則 \(\frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}} = \) __________。（化為最簡分數）

答案

設 \( O(0,0) \), \( A(a,0) \), \( B(0,b) \)，則 \( C(\frac{3}{5}a, \frac{2}{5}b) \), \( D(-\frac{3}{5}a, \frac{8}{5}b) \)
由 \( \overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{OD} \) 得 \( (\frac{3}{5}a, \frac{2}{5}b) \cdot (-\frac{3}{5}a, \frac{8}{5}b) = 0 \)
⇒ \( -\frac{9}{25}a^2 + \frac{16}{25}b^2 = 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{9}{16} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{3}{4} \)
故 \( \frac{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OA}} = \frac{3}{4} \) 報錯
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112學測數學A考科-16

令 \( E : x + z = 2 \) 為坐標空間中過三點 \( A(2, -1, 0) \)、\( B(0, 1, 2) \)、\( C(-2, 1, 4) \) 的平面。另有一點 \( P \) 在平面 \( z = 1 \) 上且其於 \( E \) 之投影點與 \( A \)、\( B \)、\( C \) 三點等距離。則點 \( P \) 與平面 \( E \) 的距離為 __________。（化為最簡根式）

答案

設 \( P(a, b, 1) \)，投影點 \( O \) 與 \( A, B, C \) 等距離 ⇒ \( PA = PB = PC \)
列式：
\( (a-2)^2 + (b+1)^2 + 1 = a^2 + (b-1)^2 + 1 \)
\( a^2 + (b-1)^2 + 1 = (a+2)^2 + (b-1)^2 + 9 \)
解得 \( a = -3, b = -4 \) ⇒ \( P(-3, -4, 1) \)
距離 \( d = \frac{|-3 + 1 - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) 報錯
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112學測數學A考科-17

坐標空間中有兩不相交直線 \( L_1 : y = 1-t \)，\( t \) 為實數，\( L_2 : y = 5+s \)，\( s \) 為實數，另一直線 \( L_3 \) 與 \( L_1 \)、\( L_2 \) 皆相交且垂直。若 \( P \)、\( Q \) 兩點分別在 \( L_1 \)、\( L_2 \) 上且與 \( L_3 \) 之距離皆為 3，則 \( P \)、\( Q \) 兩點的距離為 __________。（化為最簡根式）

答案

\( L_1 \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{\ell_1} = (1, -1, 1) \), \( L_2 \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{\ell_2} = (2, 1, -1) \)，兩者垂直
包含 \( L_1 \) 及平行 \( L_2 \) 的平面 \( E: y+z=3 \)
取 \( L_2 \) 上一點 \( B(2,5,6) \)，到 \( E \) 距離 \( \overline{QQ'} = \frac{|5+6-3|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \)
又 \( \overline{PQ'} = 3\sqrt{2} \)
∴ \( \overline{PQ} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 5\sqrt{2} \) 報錯
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112學測數學A考科-18

[題組:第18-20題]坐標平面上O為原點，給定 \(A(1, 0) \cdot B(-2, 0)\) 兩點。另有兩點P、Q在上半平面，且滿足 \(AP = OA \cdot BQ = OB \cdot PQQ\) 為直角，如右圖所示。令∠AOP = θ。根據上述，試回答下列問題。
18. 線段 \(OP\) 長為下列哪一選項？（單選題，3分）
(1) \(\sin \theta\)
(2) \(\cos \theta\)
(3) \(2\sin \theta\)
(4) \(2\cos \theta\)
(5) \(\cos 2\theta\)

[題組:第18-20題]
19. 若 \(\sin \theta = \frac{3}{5}\)，試求點 \( Q \) 的坐標，並說明 \( BQ = 2AP \)。 (非選擇題，6分)

[題組:第18-20題]
20. (承19.題) 試求點A到直線BQ的距離，並求四邊形PABQ的面積。(非選擇題，6分)

答案

取 \( OP \) 中點 \( M \)，由 \( OA = AP \) 且 \( AM \perp OP \) 可得 \( OP = 2OM = 2 \cos \theta \)
故選(4) 報錯
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112學測數學A考科-19

[題組:第18-20題]
19. 若 \(\sin \theta = \frac{3}{5}\)，試求點 \( Q \) 的坐標，並說明 \( BQ = 2AP \)。 (非選擇題，6分)

答案

\( \sin \theta = \frac{3}{5} \), \( \cos \theta = \frac{4}{5} \)
\( AP = (\cos 2\theta, \sin 2\theta) = (2\cos^2\theta - 1, 2\sin\theta\cos\theta) = (\frac{7}{25}, \frac{24}{25}) \)
\( BQ = 2AP = (\frac{14}{25}, \frac{48}{25}) \)
點 \( Q \) 坐標為 \( (-2 + \frac{14}{25}, \frac{48}{25}) = (-\frac{36}{25}, \frac{48}{25}) \) 報錯
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112學測數學A考科-20

[題組:第18-20題]
20. (承19.題) 試求點A到直線BQ的距離，並求四邊形PABQ的面積。(非選擇題，6分)

答案

\( \overrightarrow{BQ} = (\frac{14}{25}, \frac{48}{25}) // (7, 24) \)，直線 \( BQ \) 方程式：\( 24x - 7y = -48 \)
點 \( A(1,0) \) 到直線距離 \( d = \frac{|24 \times 1 - 7 \times 0 + 48|}{\sqrt{24^2+(-7)^2}} = \frac{72}{25} \)
四邊形PABQ為梯形，面積 = \( \frac{(AP+BQ) \times d}{2} = \frac{(1+2) \times \frac{72}{25}}{2} = \frac{108}{25} \) 報錯
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