某抽水站發現其用電量（單位：度）與抽水馬達轉速（單位：rpm）的三次方成正比。根據上述,試問下列這五個圖中,哪一個最可以描述此抽水站的用電量 \(y\)（度）與抽水馬達轉速 \(x\)（rpm）的對應關係？
設 \(y = kx^{3}\)（\(k\gt0\)）,這是一個奇函數,當 \(x\gt0\) 時,函數單調遞增且為凸函數（\(y^\prime = 3kx^{2}\),\(y^{\prime\prime}=6kx\gt0\)）,從左到右上升趨勢越來越快。符合此特征的圖像為過原點且在第一象限上升趨勢逐漸變快的曲線,答案需根據具體圖形判斷。 報錯
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考慮實數二階方陣 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，若 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -9 & -7 \end{bmatrix}\)，則 \(c – 2b\) 的值為何？
(1) -11
(2) -4
(3) 1
(4) 10
(5) 11
1. 逐步計算矩陣乘法：
- 先計算 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \times 1 + b \times 0 & a \times 0 + b \times (-2) \\ c \times 1 + d \times 0 & c \times 0 + d \times (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -2b \\ c & -2d \end{bmatrix}\)
- 再計算 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & -2b \\ c & -2d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times a + 1 \times c & 0 \times (-2b) + 1 \times (-2d) \\ 1 \times a + 0 \times c & 1 \times (-2b) + 0 \times (-2d) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & -2d \\ a & -2b \end{bmatrix}\)
2. 對應等式 \(\begin{bmatrix} c & -2d \\ a & -2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -9 & -7 \end{bmatrix}\)，可得：
- \(c = 3\)
- \(-2b = -7 \implies b = \frac{7}{2}\)
3. 計算 \(c - 2b\)：
\(c - 2b = 3 - 2 \times \frac{7}{2} = 3 - 7 = -4\)，故答案為(2)。 報錯
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地面上有甲、乙兩大樓,已知甲的高度大於乙,且甲、乙兩大樓的水平距離為 \(150\) 公尺。某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂,並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為 \(22^{\circ}\)。假設該繩索被拉成直線,試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？（註：眼睛往下看目標物時,視線與水平線間的夾角稱為俯角）(1) \(150\) (2) \(150\sin 22^{\circ}\) (3) \(150\cos 22^{\circ}\) (4) \(\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\) (5) \(\frac{150}{\sin 22^{\circ}}\)
設繩索長度為 \(l\),在由甲乙兩樓頂和水平距離構成的直角三角形中,水平距離為 \(150\) 公尺,俯角為 \(22^{\circ}\),繩索長度 \(l\) 與水平距離的關系為 \(\cos22^{\circ}=\frac{150}{l}\),則 \(l=\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\)。答案：(4) 報錯
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某校期中考試有 \(29\) 名考生,且成績均相異,統計後得到位於第 \(25\)、第 \(50\)、第 \(75\) 與第 \(95\) 百分位數的考生成績分別為 \(41\)、\(60\)、\(74\) 與 \(92\) 分。後來發現成績有誤需要調整分數,成績較高的前 \(15\) 名學生的分數應該要各加 \(5\) 分,其餘學生成績不變。假設調整後第 \(25\)、第 \(50\)、第 \(75\) 與第 \(95\) 百分位數的考生成績分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\) 與 \(d\) 分,則數組 \((a, b, c, d )\) 為下列哪個選項？(1) \((41, 60, 74, 92)\) (2) \((41, 60, 74, 97)\) (3) \((41, 65, 79, 97)\) (4) \((46, 65, 79, 92)\) (5) \((46, 65, 79, 97)\)
因為前 \(15\) 名成績改變,而 \(29\times25\% = 7.25\),\(29\times50\% = 14.5\),\(29\times75\% = 21.75\),\(29\times95\% = 27.55\),第 \(25\) 百分位數不受前 \(15\) 名成績調整影響,所以 \(a = 41\)；第 \(50\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(60 + 5 = 65\)；第 \(75\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(74 + 5 = 79\)；第 \(95\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(92 + 5 = 97\)。數組為 \((41, 65, 79, 97)\)。答案：(3) 報錯
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袋子裡有編號分別為 \(1, 2, \cdots, 100\) 的 \(100\) 顆球,某甲從袋中隨機抽取一球,每顆球被抽到的機率均相等。試問在下列哪個選項的條件下,某甲抽到 \(7\) 號球的條件機率最大？(1) 某甲抽到球的號碼是奇數(2) 某甲抽到球的號碼是質數(3) 某甲抽到球的號碼是 \(7\) 的倍數(4) 某甲抽到球的號碼不是 \(5\) 的倍數(5) 某甲抽到球的號碼小於 \(10\)
分別計算各條件下抽到 \(7\) 號球的條件機率。(1) 奇數有 \(50\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{50}\)；(2) \(1 - 100\) 中質數個數有限,抽到 \(7\) 號球的條件機率小於 \(\frac{1}{25}\)；(3) \(7\) 的倍數有 \(\lfloor\frac{100}{7}\rfloor = 14\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{14}\)；(4) 不是 \(5\) 的倍數有 \(100 - \lfloor\frac{100}{5}\rfloor = 80\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{80}\)；(5) 小於 \(10\) 的數有 \(9\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{9}\)。比較可得,(5) 的條件機率最大。答案：(5) 報錯
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某甲計算多項式 \(f(x) = x^{3}+ax^{2}+bx + c\) 除以 \(g(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\) 的餘式,其中 \(a, b, c, d\) 為實數,且 \(a\neq0\)。他誤看成 \(g(x)\) 除以 \(f(x)\),計算後得出餘式為 \(-3x – 17\)。假設 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\)正確的餘式等於 \(px^{2}+qx + r\),則 \(p\) 的值會等於下列哪個選項？(1) \(-3\) (2) \(-1\) (3) \(0\) (4) \(2\) (5) \(3\)
設 \(g(x)=m(x)f(x)+(-3x - 17)\),因為 \(f(x)\) 是三次多項式,\(g(x)\) 也是三次多項式,所以 \(m(x)\) 為常數,設 \(m(x)=k\),則 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=k(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17\),比較三次項系數得 \(k = a\),即 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=a(x^{3}+ax^{2}+bx + c)-3x - 17\),展開得 \(ax^{3}+bx^{2}+cx + d=ax^{3}+a^{2}x^{2}+abx + ac - 3x - 17\),比較二次項系數 \(b = a^{2}\),一次項系數 \(c = ab - 3\)。那麽 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\) 時,由於 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 最高次項次數相同,商為 \(\frac{1}{a}\),余式為 \(f(x)-\frac{1}{a}g(x)\),經計算可得 \(p = 0\)。答案：(3) 報錯
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已知某手電筒照射的光線為直圓錐狀,且光發散的夾角為 \(60^{\circ}\),如圖所示。設牆壁與地板垂直且交界處為直線 \(L\),將此手電筒以垂直於 \(L\) 的方向照射,即此直圓錐的軸與 \(L\) 垂直。若手電筒照射在牆壁上的光線邊緣為拋物線的一部份,則在地板上的光線邊緣為下列哪種圖形的一部份？(1) 兩相交直線(2) 圓形(3) 拋物線(4) 長短軸不相等的橢圓(5) 雙曲線
圓錐的母線與軸夾角為 \(30^{\circ}\),當手電筒垂直於交線 \(L\) 照射時,在墻壁上形成拋物線,說明圓錐母線與墻壁平行。而地板與墻壁垂直,圓錐母線與地板不平行,且圓錐母線與軸夾角小於 \(90^{\circ}\),所以在地板上的光線邊緣是雙曲線的一部分。答案：(5) 報錯
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某電子看板持續不斷的輪流播放 \(A\)、\(B\) 兩段廣告（\(A\)、\(B\)、\(A\)、\(B\cdots\)）,每個廣告播放時間皆為 \(T\) 分鐘（其中 \(T\) 為整數）。某甲經過時剛好開始播放 \(A\) 廣告,\(30\) 分鐘後,某甲回到該處,看到恰好開始播放 \(B\) 廣告。試選出可能是 \(T\) 值的選項。(1) \(15\) (2) \(10\) (3) \(8\) (4) \(6\) (5) \(5\)
\(30\) 分鐘後從 \(A\) 廣告開始播放變為 \(B\) 廣告開始播放,說明 \(30\) 分鐘是 \(2T\) 的整數倍加上 \(T\),即 \(30 = (2n + 1)T\),\(n\) 為非負整數。分別代入選項：(1) \(30=(2n + 1)\times15\),\(n = \frac{1}{2}\) 不符合；(2) \(30=(2n + 1)\times10\),\(n = 1\) 符合；(3) \(30=(2n + 1)\times8\),\(n=\frac{11}{8}\) 不符合；(4) \(30=(2n + 1)\times6\),\(n = 2\) 符合；(5) \(30=(2n + 1)\times5\),\(n=\frac{5}{2}\) 不符合。答案：(2)(4) 報錯
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已知 \( a=6 \)、\( b=\frac{20}{3} \)、\( c=2\sqrt{10} \) 和 \( d \)，且 \( d \) 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 \( A(a) \)、\( B(b) \)、\( C(c) \) 和 \( D(d) \)。試選出正確的選項。
(1) \( a+b+c+d \) 必為一個有理數
(2) \( abcd \) 必為一個無理數
(3) 點 \( D \) 有可能與點 \( C \) 的距離等於 \( 2\sqrt{10}+6 \)
(4) 點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點位在點 \( C \) 的右邊
(5) 數線上和點 \( B \) 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
1. 分析選項(1)：
\( a \)、\( b \)、\( d \) 為有理數，\( c=2\sqrt{10} \) 為無理數，有理數 + 無理數 = 無理數，故 \( a+b+c+d \) 必為無理數，選項(1)錯誤。
2. 分析選項(2)：
若 \( d=0 \)（有理數），則 \( abcd = 6 \times \frac{20}{3} \times 2\sqrt{10} \times 0 = 0 \)（有理數），選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
點 \( D \) 與點 \( C \) 的距離為 \( |d - 2\sqrt{10}| \)，若 \( d = 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10}+6) = 4\sqrt{10}+6 \)（但 \( d \) 需為有理數，而 \( 4\sqrt{10}+6 \) 是無理數）；若 \( d = 2\sqrt{10} - (2\sqrt{10}+6) = -6 \)（有理數），此時距離為 \( |-6 - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}+6 \)，符合條件，選項(3)正確。
4. 分析選項(4)：
點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點為 \( \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{\frac{38}{3}}{2} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \)，\( c=2\sqrt{10} \approx 6.32 \)，故中點 \( \frac{19}{3} > 2\sqrt{10} \)，位在點 \( C \) 右邊，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
點 \( B = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)，距離小於 8 的區間為 \( (\frac{20}{3} - 8, \frac{20}{3} + 8) = (-\frac{4}{3}, \frac{44}{3}) \)。正整數有 \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \)（共14個），負整數有 \( -1 \)（共1個），選項(5)正確。
综上，正確選項為(3)(4)(5)。 報錯
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某機構在 \(12\) 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中,此時甲、乙的細菌數量分別為 \(X\)、\(Y\)。已知甲的數量每 \(3\) 小時成長為原來的 \(2\) 倍,例如 \(15\) 點時甲的數量為 \(2X\)。乙的數量每 \(2\) 小時成長為原來的 \(2\) 倍,例如 \(14\) 點時乙的數量為 \(2Y\)、\(16\) 點時乙的數量為 \(4Y\),測量所得結果部分記錄於下表。該機構在 \(18\) 點時測量發現甲、乙的數量相同,欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型來預估甲、乙 \(12\) 點至 \(24\) 點的細菌數量。根據上述,試選出正確的選項。
| 時刻（點） | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| 甲數量 | X | 2X | |||||||||||
| 乙數量 | Y | 2Y | 4Y |
(1) \(X\gt Y\)(2) 在 \(13\) 點時,甲的數量為 \(\frac{4}{3}X\)(3) 在 \(15\) 點時,乙的數量為 \(3Y\)(4) 在 \(19\) 點時,乙的數量為甲的 \(1.5\) 倍(5) 在 \(24\) 點時,乙的數量為甲的 \(2\) 倍
甲的數量變化公式為 \(N_{甲}=X\cdot2^{\frac{t - 12}{3}}\),乙的數量變化公式為 \(N_{乙}=Y\cdot2^{\frac{t - 12}{2}}\)。18 點時兩者數量相同,則 \(X\cdot2^{\frac{18 - 12}{3}}=Y\cdot2^{\frac{18 - 12}{2}}\),即 \(4X = 8Y\),\(X = 2Y\),所以 \(X\gt Y\),(1) 正確；13 點時,甲的數量為 \(X\cdot2^{\frac{13 - 12}{3}}=2^{\frac{1}{3}}X\neq\frac{4}{3}X\),(2) 錯誤；15 點時,乙的數量為 \(Y\cdot2^{\frac{15 - 12}{2}}=2\sqrt{2}Y\neq3Y\),(3) 錯誤；19 點時,甲數量為 \(X\cdot2^{\frac{19 - 12}{3}}=2^{\frac{7}{3}}X\),乙數量為 \(Y\cdot2^{\frac{19 - 12}{2}}=2^{\frac{7}{2}}Y\),因為 \(X = 2Y\),則乙數量為甲的 \(\frac{2^{\frac{7}{2}}Y}{2^{\frac{7}{3}}X}=\frac{2^{\frac{7}{2}}Y}{2^{\frac{7}{3}}\cdot2Y}=2^{\frac{7}{2}-\frac{7}{3}-1}=2^{\frac{1}{6}}\neq1.5\) 倍,(4) 錯誤；24 點時,甲數量為 \(X\cdot2^{\frac{24 - 12}{3}} = 16X\),乙數量為 \(Y\cdot2^{\frac{24 - 12}{2}} = 64Y\),因為 \(X = 2Y\),乙數量為甲的 \(\frac{64Y}{16X}=\frac{64Y}{16\cdot2Y}=2\) 倍,(5) 正確。答案：(1)(5) 報錯
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