考慮二元一次方程組 \(\begin{cases} ax + by = 6 \\ x + by = 1 \end{cases}\)，其係數 \(a, b\) 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 \(a\) 值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時 \(b\) 值為 1，若硬幣出現反面時 \(b\) 值為 2。試選出正確的選項。
(1) 擲出 \(a = b\) 的機率為 \(\frac{1}{3}\)
(2) 此方程組無解的機率為 \(\frac{1}{12}\)
(3) 此方程組有唯一解的機率為 \(\frac{5}{6}\)
(4) 硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 \(\frac{1}{2}\)
(5) 在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，\(x\) 值為正的機率為 \(\frac{2}{5}\)
在坐標平面上給定三點 \(A(1,0), B(0,1), C(-1,0)\)，令 \(\Gamma\) 為 \(\triangle ABC\) 經矩陣 \(T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}\) 變換後的圖形，其中 \(a\) 為實數。試選出正確的選項。
(1) 若 \(a=0\)，則 \(\Gamma\) 為等腰直角三角形
(2) \(\triangle ABC\) 的邊上至少有兩點經 \(T\) 變換後坐標不變
(3) \(\Gamma\) 必有部分落在第四象限
(4) 平面上找到一個圖形 \(\Omega\) 經 \(T\) 變換後為 \(\triangle ABC\)
(5) \(\Gamma\) 的面積為定值
某銷售站銷售甲、乙、丙三型手機，甲手機每支利潤 100 元，乙手機每支利潤 400 元，丙手機每支利潤 240 元。上年度甲、乙、丙手機各賣出 A，B，C 支，平均每支利潤為 260 元；且知銷售甲、乙兩型手機共 A＋B 支的平均每支利潤為 280 元。則該站上年度售出的三型手機數量比為 A：B：C＝ __________：__________：__________。(化為最簡整數比)
已知 \( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \) 皆為實係數三次多項式，且除以 \( x^2 – 2x + 3 \) 的餘式分別為 \( x + 1 \)、\( x – 3 \)、\( -2 \)。若 \( yf(x) + ag(x) + bh(x) \) 可以被 \( x^2 – 2x + 3 \) 整除，其中 \( a, b \) 為實數，則 \(a = \) __________, \(b = \) __________。
某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動，報名截止後，主持人依報名人數置入同數量的摸彩球，其中有10顆被標示為幸運獎，其獎項為5000元禮券及8000元禮券各5顆，每顆球被抽中的機率皆相同，抽後不放回。抽獎前，主辦單位依獎項個數與報名人數，主持人公告中獎機率為0.4%。開始抽獎後，每人依序抽球，每個人只有一次抽獎機會。若前100位參加抽獎者，恰有1人抽中5000元禮券且沒有人抽中8000元禮券，則抽獎順序為第101號者可獲禮券金額的期望值為 __________ 元。
坐標平面上，已知向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 在向量 \((2, -3)\) 方向的正射影長比原長少1，而在向量 \((3, 2)\) 方向的正射影長比原長少2。若 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 與兩向量 \((2, -3), (3, 2)\) 的夾角皆為銳角，則 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 在向量 \((4, 7)\) 方向的正射影長為 __________。（化為最簡根式）
坐標平面上，在以 \( O(0,0) \)、\( A(0,1) \)、\( B(1,1) \)、\( C(1,0) \) 為頂點的正方形（含邊界）內，令 \( R \) 為滿足下述條件的點 \( P(x,y) \) 所成區域：與點 \( P(x,y) \) 的距離為 \( |x-y| \) 之所有點所成圖形完全落在正方形 \( OABC \)（含邊界）內。則區域 \( R \) 的面積為 __________。（化為最簡分數）
18-20 題為題組
坐標空間中，設 \( O \) 為原點，\( E \) 為平面 \( x-z=4 \)。試回答下列問題。
18. 若原點 \( O \) 在平面 \( E \) 上的投影點為 \( Q \)，且向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OQ} \) 與向量 \( (1,0,0) \) 的夾角為 \( \alpha \)，則 \( \cos \alpha \) 之值為下列哪一選項？
(1) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) (2) \(-\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (5) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
18-20 題為題組19. 已知空間中有一點 \( P(a, b, c) \) 滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與向量 \((1, 0, 0)\) 的夾角 \(\theta \leq \frac{\pi}{6}\)。試說明實數 \( a, b, c \) 滿足不等式 \( a^2 \geq 3(b^2 + c^2) \)。
18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 \( P \) 在平面 \( E \) 上且 \( b = 0 \)。試求 \( c \) 的最大可能範圍，並求線段 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 的最小可能長度。
18. 平面法向量為 \((1,0,-1)\)，投影點 \(Q\) 滿足 \(\overset{\rightharpoonup}{OQ} \parallel (1,0,-1)\)，代入平面得 \(Q(2,0,-2)\)，則 \(\cos \alpha = \frac{(2,0,-2)\cdot(1,0,0)}{|(2,0,-2)|} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，選(4)
由 \(\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \geq \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，平方得 \(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3}{4}\)，整理得 \(a^2 \geq 3(b^2+c^2)\)。
由 \(a-c=4\) 與 \(a^2 \geq 3c^2\) 得 \((c+4)^2 \geq 3c^2 \Rightarrow c^2 - 4c - 8 \leq 0\)，解得 \(2-2\sqrt{3} \leq c \leq 2+2\sqrt{3}\)。
又 \(|\overset{\rightharpoonup}{OP}|^2 = 2c^2+8c+16 = 2(c+2)^2+8\)，當 \(c=2-2\sqrt{3}\) 時有最小值 \(4\sqrt{3}-4\)。 報錯
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18-20 題為題組19. 已知空間中有一點 \( P(a, b, c) \) 滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與向量 \((1, 0, 0)\) 的夾角 \(\theta \leq \frac{\pi}{6}\)。試說明實數 \( a, b, c \) 滿足不等式 \( a^2 \geq 3(b^2 + c^2) \)。
18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 \( P \) 在平面 \( E \) 上且 \( b = 0 \)。試求 \( c \) 的最大可能範圍，並求線段 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 的最小可能長度。
