113學測數學B

1. 先計算前\(n\)組的累積人數：
- 前\(n\)組累積人數\(S_n=\sum_{k = 1}^{n}k=\frac{n(n + 1)}{2}\)。
- 計算\(\frac{n(n + 1)}{2}\),當\(n = 18\)時,\(S_{18}=\frac{18\times(18 + 1)}{2}=171\)人；當\(n = 19\)時,\(S_{19}=\frac{19\times(19 + 1)}{2}=190\)人。
2. 因為\(210\times90\% = 189\)人,\(171\lt189\lt190\),所以第\(90\)百分位數落在持有\(19\)顆寶石這一組。答案：(4) 報錯
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1. 已知\(1\lt a\lt10\),對於\(y = \log x\)（假設以\(10\)為底）,當\(x = a\)時,\(b=\log a\),由對數函數性質可得\(0\lt\log a\lt1\),即\(0\lt b\lt1\)。
2. 又\(c = \log b\),因為\(0\lt b\lt1\),所以\(\log b\lt0\),即\(c\lt0\)。所以\(c\lt0\lt b\lt1\)。答案：(1) 報錯
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1. 設\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\),\(0\leq x_1,y_1,x_2,y_2\leq1\),則\(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\)。
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-2(x_2 - x_1)+3(y_2 - y_1)=-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\)。
3. 求\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\)的最大值,\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert=\vert-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\vert\leq\vert-2x_2\vert+\vert2x_1\vert+\vert3y_2\vert+\vert-3y_1\vert\)。
- 因為\(0\leq x_1,x_2,y_1,y_2\leq1\),所以\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\leq2 + 2 + 3 + 3 = 5\)。答案：(4) 報錯
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1. 由\(f(x - 2)=f(-x - 2)\)可知二次函數\(f(x)\)的對稱軸為\(x=-2\),即\(-\frac{b}{2}=-2\),解得\(b = 4\)。
2. 所以\(f(x)=x^{2}+4x + c=(x + 2)^{2}+c - 4\),在\(-3\leq x\leq1\)上,\(f(x)\)在\(x=-2\)取得最小值\(c - 4\),在\(x = 1\)取得最大值\(1 + 4 + c = 5 + c\)。
3. 已知最大值是最小值的\(4\)倍,即\(5 + c = 4(c - 4)\),解得\(c = 7\)。所以最小值\(c - 4 = 3\)。答案：(3) 報錯
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（3）由最高溫度36,介於30-36考慮下來 報錯
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1. 設原等比數列公比為\(q\),\(q\gt1\)。
- (1)：是等比數列。
- (2)：\(\frac{d}{e}=\frac{1}{q}\),\(\frac{c}{d}=\frac{1}{q}\),\(\frac{b}{c}=\frac{1}{q}\),\(\frac{a}{b}=\frac{1}{q}\),是等比數列。
- (3)：\(\log b-\log a=\log\frac{b}{a}\),\(\log c-\log b=\log\frac{c}{b}\),若\(\log\frac{b}{a}=\log\frac{c}{b}\),則\(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\),原數列是等比數列,所以\(\log a\),\(\log b\),\(\log c\),\(\log d\),\(\log e\)是等差數列,不是等比數列。
- (4)：\(\frac{3^b}{3^a}=3^{b - a}\),\(\frac{3^c}{3^b}=3^{c - b}\),\(b - a\neq c - b\),不是等比數列。
- (5)：\(\frac{bcd}{abc}=\frac{d}{a}=q^3\),\(\frac{cde}{bcd}=\frac{e}{b}=q^3\),是等比數列。答案：（1）(2)(5) 報錯
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我們已知：

\[
f(x) = (x^2 + 5x + 1)(x^3 + 7x^2 + x + 3) + r(x),
\]
其中 \( r(x) \) 是餘式，且 \(\deg r(x) < 2\)。 所以 \( r(x) = ax + b \)，其中 \( a, b \) 是常數。 --- **檢查選項：** (1) \( 2(x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) \) 這相當於 \( f(x) = 2Q(x)D(x) \)，商式是 \( 2Q(x) \)，不是 \( Q(x) \)，不符合題目給的商式。 ❌ --- (2) \( (x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) - x \) 這相當於 \( f(x) = Q(x)D(x) - x \)，商式 \( Q(x) \)，餘式 \( -x \)，符合條件。 ✅ --- (3) \( (x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) + x^2 \) 餘式 \( x^2 \)，但 \(\deg x^2 = 2\)，不滿足餘式次數 < 2，所以商式會改變。 ❌ --- (4) \( (x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x \) 設 \( Q_1(x) = x^3 + 7x^2 + x + 4 \)，比題目給的商式 \( Q(x) \) 多 1（常數項差 1）。 \[ f(x) = Q_1(x)D(x) - x = [Q(x) + 1]D(x) - x = Q(x)D(x) + D(x) - x. \] 這相當於商式 \( Q(x) \)，餘式 \( D(x) - x = (x^2 + 5x + 1) - x = x^2 + 4x + 1 \)，次數 2，不行。 ❌ --- (5) \( (x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x^2 \) \[ f(x) = [Q(x) + 1]D(x) - x^2 = Q(x)D(x) + D(x) - x^2 = Q(x)D(x) + (x^2 + 5x + 1 - x^2) = Q(x)D(x) + (5x + 1). \] 餘式 \( 5x + 1 \)，次數 1，商式 \( Q(x) \)，符合條件。 ✅ --- 所以正確選項是 **(2)** 和 **(5)**。 --- **答案：** \(\boxed{2,5}\) 報錯
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我們先整理已知條件：

- 軌道長 \( L = 120 \) 公分
- A 從左端（位置 0）出發向右，速率 \( v_A = 5 \) cm/s
- B 從右端（位置 120）出發向左，速率 \( v_B = 10 \) cm/s
- 碰到端點就反向（彈性碰撞，速度反向）

---

## 1. 第一次相遇

初始相距 \( 120 \)，相對速度 \( 5 + 10 = 15 \) cm/s
第一次相遇時間 \( t_1 = \frac{120}{15} = 8 \) 秒

A 移動 \( 5 \times 8 = 40 \) cm，從位置 0 到 40
B 移動 \( 10 \times 8 = 80 \) cm，從位置 120 到 40

所以第一次相遇在位置 40。

**(1)** 說「與其中一個端點的距離為 40 公分」
從左端 0 到 40 是 40 cm，從右端 120 到 40 是 80 cm，所以「與其中一個端點」的距離是 40 cm 沒錯。 ✅

---

## 2. A 的週期

A 從 0 到 120 需 \( \frac{120}{5} = 24 \) 秒，再從 120 回到 0 需 24 秒，所以回到原位置且速度方向相同（向右）的週期是 \( 48 \) 秒。
但題目 (2) 說「位置呈週期現象，週期為 24 秒」：
位置函數（不考慮方向）在反彈後會對稱，但從 0 到 120 再回到 0 的「位置圖」是三角波，半週期 24 秒回到原點但速度反向，全週期 48 秒才完全重複（位置與速度方向都相同）。
如果只考慮位置（不考慮速度方向），週期是 24 秒嗎？
檢查：
A 在 t=0 位置 0，t=24 位置 120，t=48 位置 0，所以位置函數 \( x_A(t) \) 滿足 \( x_A(t+24) = L - x_A(t) \)，不是 \( x_A(t+24) = x_A(t) \)，所以位置本身週期不是 24，而是 48。
因此 (2) ❌

---

## 3. A 回到出發點時 B 是否也在出發點

A 回到出發點（位置 0）的時間：
從 0 到 120 需 24 秒（在右端），再回到 0 需 48 秒（在左端），所以回到出發點的時間是 48 秒的整數倍： \( t = 48k \) 秒。

B 的運動：從 120 向左到 0 需 \( \frac{120}{10} = 12 \) 秒，再從 0 向右到 120 需 12 秒，所以 B 回到出發點（位置 120）的時間是 \( t = 24m \) 秒（因為每 24 秒回到右端一次）。

A 回到出發點的時間：48, 96, ...
B 回到出發點的時間：24, 48, 72, 96, ...
在 48 秒時，A 在 0（出發點），B 在 120（出發點）嗎？
檢查 B：
0–12 秒：B 從 120 到 0
12–24 秒：B 從 0 到 120（t=24 在 120）
24–36 秒：B 從 120 到 0
36–48 秒：B 從 0 到 120（t=48 在 120） ✅
所以 t=48 時兩者都在出發點。

**(3)** 說「當光點 A 回到 A 的出發點時，光點 B 也在 B 的出發點」
我們只驗證了 t=48 秒成立，但題目意思是「每次 A 回到出發點時，B 也在出發點」？
A 回到出發點時間：48k
B 回到出發點時間：24m
48k 必是 24 的倍數，所以 B 在端點，但不一定在「B 的出發點（120）」？
B 的出發點是 120，B 在端點有兩個：0 和 120。
B 在 t=24m 時在 120，在 t=12+24m 時在 0。
48k 是偶數個 24，所以 m 是偶數？ 48k/24 = 2k 是偶數，所以 B 在 120。
所以確實每當 A 在 0 時，B 在 120。

因此 (3) ✅

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## 4. 第二次相遇在端點？

第一次相遇在 t=8，位置 40。
之後兩者交換速度嗎？不，是實際的物體，不是交換速度的質點，所以各自繼續運動（但反向）。
第一次相遇後：
A 在 40 向右 5，B 在 40 向左 10。
B 先到左端 0：從 40 到 0 需 4 秒（B 向左 10 cm/s），此時 t=12。
A 從 40 向右走 4 秒到 60。
B 在 0 反彈向右 10，A 在 60 向右 5。

從 t=12 起：
A 在 60 向右 5，B 在 0 向右 10，B 追 A？ 相對速度 5，距離 60，需 12 秒，在 t=24 時追上。
位置：B 從 0 向右 10×12=120，到 120（右端），A 從 60 向右 5×12=60，到 120。
所以第二次相遇在 t=24，位置 120（右端）。

**(4)** 說「第二次相遇在其中一個端點上」✅

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## 5. 共有 3 個不同的相遇位置

第一次：位置 40
第二次：位置 120
第三次相遇：
第二次相遇在 t=24 位置 120 時，A 本來向右到右端 120，B 向左？ 不對，檢查 t=24 時：
A 在 120 正要反彈向左 5，B 在 120 正要反彈向左？ 不對，B 在 t=24 時從右端 120 反彈向左 10，所以兩者都在 120 反彈向左，但速度不同（A 向左 5，B 向左 10）。
所以第三次相遇：
t=24 後，B 速度 10 向左，A 速度 5 向左，B 在前面？ 不對，位置相同，B 更快向左，所以 B 會在前面，那怎麼相遇？
其實它們在端點相遇後，B 較快向左，A 較慢向左，所以 B 在前面，不可能再相遇，除非 B 到左端反彈向右再追上 A。

我們改用相對運動分析：
在坐標系中，把反彈展開成直線運動（鏡像法）：
A 的展開位置函數：\( X_A(t) = 5t \)（模 240 的三角波轉成直線 5t 再折回）
B 的展開位置函數：\( X_B(t) = 120 - 10t \)（模 240 的三角波）
相遇時 \( 5t \equiv 120 - 10t \pmod{240} \)
即 \( 15t \equiv 120 \pmod{240} \)
\( 15t = 120 + 240k \)
\( t = 8 + 16k \)

k=0: t=8（位置 40）
k=1: t=24（位置 120）
k=2: t=40（位置 40）
k=3: t=56（位置 120）
… 交替在 40 和 120 相遇。

所以只有 2 個不同相遇位置：40 和 120。

**(5)** 說「共有 3 個不同的相遇位置」❌

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**正確選項：** (1)(3)(4)

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**答案：** \(\boxed{1,3,4}\) 報錯
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