114學測數學A

不透明袋中有藍、綠色球各若干顆，且球上皆有 1 或 2 的編號，其顆數如下表，例如標有 1 號的藍色球有 2 顆。

從此袋中隨機抽取一球（每顆球被抽到的機率相等），若已知抽到藍色球的事件與抽到 1 號球的事件互相獨立，試問 \( k \) 值為何？
(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6

坐標平面上，\( P(a, 0) \) 為 x 軸上一點，其中 \( a \gt 0 \)。令 \( L_1 \)、\( L_2 \) 為通過 \( P \) 點，斜率分別為 \( -\frac{4}{3} \)、\( -\frac{3}{2} \) 的直線。已知 \( L_1 \)、\( L_2 \) 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 3，試問 \( a \) 值為何？
(1) \( 3\sqrt{2} \) (2) 6 (3) \( 6\sqrt{2} \) (4) 9 (5) \( 8\sqrt{2} \)

某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演5個、小提琴表演4個、歌唱表演3個等三類表演共12個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
(1) \(5!\times4!\times3!\)
(2) \(2\times5!\times4!\times3!\)
(3) \(3\times5!\times4!\times3!\)
(4) \(4\times5!\times4!\times3!\)
(5) \(6\times5!\times4!\times3!\)

坐標平面上，x 坐標與 y 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 \(y=\log_2 x\)、x 軸與直線 \(x=61\) 所圍有界區域的內部 (不含邊界) 共有多少個格子點？
(1) 88 (2) 89 (3) 90 (4) 91 (5) 92

設 \(0\leq\theta\leq2\pi\)。已知所有滿足 \(\sin 2\theta \gt \sin \theta\) 且 \(\cos 2\theta \gt \cos \theta\) 的 \(\theta\) 可表為 \(a\pi \lt \theta \lt b\pi\)，其中 \(a\)，\(b\) 為實數，試問 \(b-a\) 值為何？
(1) \(\frac{1}{3}\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{2}{3}\) (4) \(\frac{3}{4}\) (5) 1

坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)。已知 \(\overset{\rightharpoonup}{u}-\overset{\rightharpoonup}{v}=(2,-1,0)\)，且 \(\overset{\rightharpoonup}{v}-\overset{\rightharpoonup}{w}=(-1,2,3)\)。試問由 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\) 所張出的平行六面體之體積為何？
(1) \(2\sqrt{5}\) (2) \(5\sqrt{2}\) (3) \(2\sqrt{10}\) (4) \(4\sqrt{5}\) (5) \(4\sqrt{10}\)

已知數列 \(\langle a_n \rangle\) 滿足 \(3a_{n+1} = a_n + n\) (對任意正整數 \(n\) 都成立) 且 \(a_1 = 2\)。令數列 \(\langle b_n \rangle\) 滿足 \(b_n = a_n – \frac{n}{2} + \frac{3}{4}\)。試選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 2\)
(2) \(b_2 = \frac{3}{4}\)
(3) 數列 \(\langle b_n \rangle\) 是公比為 \(\frac{2}{3}\) 的等比數列
(4) 對於任意正整數 \(n\)，\(3^n a_n\) 皆為正整數
(5) \(b_{10} \lt 10^{-4}\)

考慮坐標平面上滿足方程式 \(\frac{2^x}{8} = \frac{4^x}{2^y}\) 的點 \(P(x, y)\)，試選出正確的選項。
(1)當 \(x=3\) 時，滿足此方程式的解有相異 2 個
(2)若點 \((a, b)\) 滿足此方程式，則點 \((-a, -b)\) 也滿足此方程式
(3)所有可能的點 \(P(x, y)\) 構成的圖形為一個圓
(4)點 \(P(x, y)\) 可能在直線 \(x+y=4\) 上
(5)對於所有可能的點 \(P(x, y)\)，其 \(x-y\) 的最大值為 \(1+2\sqrt{2}\)

設 \(b\)、\(c\) 為實數。已知二次方程式 \(x^2+bx+c=0\) 有實根，但二次方程式 \(x^2+(b+2)x+c=0\) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \(c \lt 0\)
(2) \(b \lt 0\)
(3) \(x^2+(b+1)x+c=0\) 有實根
(4) \(x^2+(b+2)x-c=0\) 有實根
(5) \(x^2+(b-2)x+c=0\) 有實根

令 \(\Gamma\) 為坐標平面上 \(y=\sin \pi x\) 在 \(0 \leq x \leq 3\) 內之函數圖形。一水平直線 \(L: y=k\) 與 \(\Gamma\) 相交，其中三交點 \(P(x_1, k), Q(x_2, k), R(x_3, k)\) 滿足 \(x_1 \lt x_2 \lt 1 \lt x_3\)。試選出正確的選項。
(1) \(k \gt 0\)
(2) \(L\) 與 \(\Gamma\) 恰有 3 個交點
(3) \(x_1 + x_2 \lt 1\)
(4) 若 \(2PQ = QR\)，則 \(k = \frac{1}{2}\)
(5) \(L\) 與 \(\Gamma\) 所有交點的 \(x\) 坐標之和大於 5