114學測數學B

設點\(P\)表示的數為\(x\),則\(\vert x - 1\vert + \vert x - 4\vert = 4\)。當\(x \leq 1\)時,\(1 - x + 4 - x = 4\),解得\(x = \frac{1}{2}\)；當\(1 < x < 4\)時,\(x - 1 + 4 - x = 3 \neq 4\),無解；當\(x \geq 4\)時,\(x - 1 + x - 4 = 4\),解得\(x = \frac{9}{2}\)。所以這樣的\(P\)有\(2\)個。答案：(3) 報錯
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1. 設 \( A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \\ r & s \end{bmatrix} \)，計算 \( A\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)：
\[
\begin{bmatrix} m - n & n \\ p - q & q \\ r - s & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ -2 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}
\]
2. 對應元素相等，得：
- \( m - n = 4 \)，\( n = -6 \implies m = 4 + (-6) = -2 \)
- \( p - q = -2 \)，\( q = 1 \implies p = -2 + 1 = -1 \)
- \( r - s = 3 \)，\( s = 5 \implies r = 3 + 5 = 8 \)
3. 計算 \( A\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m \\ p \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 8 \end{bmatrix} \)，即 \( a = -2 \)，\( b = -1 \)，\( c = 8 \)
4. 求和：\( a + b + c = -2 + (-1) + 8 = 5 \)，故答案為(4)。 報錯
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1. 分析選項(2)：
因 \( \frac{1}{2} < a < 1 \)，對數函數 \( y = \log x \)（以10或自然對數為底，底數>1）在\( (0,1) \)上為負，故 \( \log a < 0 \)。 2. 分析選項(3)： \( \log(a^2) = 2\log a \)，因 \( \log a < 0 \)，故 \( 2\log a < \log a \)（負數乘以2更小）。 3. 分析選項(4)： 因 \( 1 < b < 2 \)，故 \( \log b > 0 \)。

4. 分析選項(5)：
因 \( \log b > 0 \)，故 \( \frac{1}{\log b} > 0 \)。

5. 比較選項(2)與(3)：
令 \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)（滿足 \( \frac{1}{2} < a < 1 \)），則 \( \log a = \log \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\log 2 - \log 2 = -\frac{1}{2}\log 2 \)，\( \log(a^2) = 2 \times (-\frac{1}{2}\log 2) = -\log 2 \)。 因 \( -\log 2 < -\frac{1}{2}\log 2 \)，故 \( \log(a^2) < \log a \)。 综上，選項(3)的值最小。" 報錯
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1. 計算所有可能的抽獎結果：
每次抽獎有4種選擇，抽4次的總結果數為 \(4^4 = 256\)。

2. 計算「恰抽到三種不同款式」的結果數：
- 第一步：選擇哪3種款式，組合數為 \(C(4,3) = 4\)。
- 第二步：在4次抽獎中，其中一種款式抽2次，另外兩種各抽1次。
- 選擇哪種款式抽2次：3種選擇。
- 安排這2次的位置：\(C(4,2) = 6\)。
- 剩下2次分配給另外兩種款式：\(2! = 2\) 種排列。
- 因此，符合條件的結果數為 \(4 \times 3 \times 6 \times 2 = 144\)。

3. 計算機率：
機率 = 符合條件的結果數 / 總結果數 = \(\frac{144}{256} = \frac{9}{16}\)，故答案為(4)。 報錯
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1. **圓錐面性質**：直線\(M\)繞\(L\)旋轉形成直圓錐面，錐角為\(24^\circ\)。
2. **平面與圓錐面的截痕**：平面\(E\)與直線\(L\)平行，且不通過圓錐頂點。
3. **結果**：根據圓錐截痕的性質，當平面與軸平行且不與母線平行時，截痕為**雙曲線**。

**答案**：(1) 雙曲線。

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要解決這個問題，我們可以通過**代入特殊值法**或**比較系數法**來求解 \(a, b, c\) 的值，再比較它們的大小。

### 步驟1：代入特殊值求 \(a, b, c\)
已知 \(f(x) = a(x-1)(x-3) + b(x-1)(x-4) + c(x-3)(x-4) = x^2\)，我們可以選擇使某些項為0的 \(x\) 值，簡化計算：

- **求 \(a\)**：令 \(x = 4\)，則 \(b\) 和 \(c\) 的項均為0：
\[
f(4) = a(4-1)(4-3) + 0 + 0 = 3a = 4^2 = 16 \implies a = \frac{16}{3}
\]

- **求 \(b\)**：令 \(x = 3\)，則 \(a\) 和 \(c\) 的項均為0：
\[
f(3) = 0 + b(3-1)(3-4) + 0 = -2b = 3^2 = 9 \implies b = -\frac{9}{2}
\]

- **求 \(c\)**：令 \(x = 1\)，則 \(a\) 和 \(b\) 的項均為0：
\[
f(1) = 0 + 0 + c(1-3)(1-4) = 6c = 1^2 = 1 \implies c = \frac{1}{6}
\]

### 步驟2：比較 \(a, b, c\) 的大小
- \(a = \frac{16}{3} \approx 5.33\)
- \(c = \frac{1}{6} \approx 0.17\)
- \(b = -\frac{9}{2} = -4.5\)

因此，大小關系為 \(a > c > b\)。

### 最終答案
選項 \(\boxed{(2)}\) 報錯
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1. 對於(1),\(f(-x)= -x^3 + x = - (x^3 - x)= - f(x)\),所以\(y = x^3 - x\)是奇函數,對稱中心為原點,(1)正確。
2. 對於(2),求\(y = x^3 - x\)在\(x = 0\)處的導數\(y^\prime = 3x^2 - 1\),\(x = 0\)時,\(y^\prime = - 1\),在\(x = 0\)附近近似直線為\(y - 0 = - 1×(x - 0)\)即\(y = - x\),(2)錯誤。
3. 對於(3),\(y = x^3 + x + 3\)與\(y = x^3 - x\)形狀不同,平移無法重合,(3)錯誤。
4. 對於(4),\(y = x^3 - x\)與\(y = x^3 + x\)不關於\(x\)軸對稱,(4)錯誤。
5. 對於(5),\(y = x^3 - x\)與\(y = -x^3 + x\),\(f(x)\)與\(f(-x)\)關係,可知二者關於\(y\)軸對稱,(5)正確。答案：(1)(5) 報錯
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由\(\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}\),\(0 \leq \alpha \leq 1\),\(0 \leq \beta \leq 1\),可知\(P\)點在以\(O\),\(A\),\(B\)為頂點的平行四邊形內部（含邊界）。將各選項\(A\)、\(B\)坐標代入,利用向量加法的平行四邊形法則判斷,(2)(3)(4)符合。答案：(2)(3)(4) 報錯
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1. 對於(1),丙每次殺球用時平均\(1.7\)秒,是四位中最多,(1)正確。
2. 對於(2),甲殺球總用時\(25×1.2 = 30\)秒,丁殺球總用時\(30×1.2 = 36\)秒,丁最多,(2)正確。
3. 對於(3),甲和丁平均用時相同,但標準差不同,說明用時不完全相同,(3)錯誤。
4. 對於(4),標準差不等,無法確定全距大小,(4)錯誤。
5. 對於(5),標準差\(0.3\),根據\(3\sigma\)原則,大部分數據在\(1.5 - 3×0.3 = 0.6\)到\(1.5 + 3×0.3 = 2.4\)之間,所以各次殺球用時不可能都在\(1.4\)到\(1.6\)秒之間,(5)正確。答案：(1)(2)(5) 報錯
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