〈114學測數學B 〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 2 頁

04 – 114學測數學b試題11

設地球是一個球體。地球表面上五個點$A$、$B$、$C$、$D$、$E$的經緯度如下表,例如$A$點位在經度$0$度,北緯$60$度。

大圓為通過球心的平面與球面相交所形成的圓,且球面上相異兩點在大圓上所形成較小的弧為最短路徑。根據上述,試選出正確的選項。(1) 「北極點到$A$的最短路徑長」等於「北極點到$B$的最短路徑長」；(2) 「$A$到$B$的最短路徑長」等於「$C$到$D$的最短路徑長」；(3) $A$到$E$的最短路徑必經過$C$；(4) $C$到$D$的最短路徑必經過北極點；(5) 「$E$到北極點的最短路徑長」與「$C$到$D$的最短路徑長」的比為$2：3$

答案

1. 分析選項(1)：
北極點到 $ A $ 的緯度差為 $ 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $，北極點到 $ B $ 的緯度差也為 $ 30^\circ $。球面上兩點沿大圓的最短距離與緯度差成正比，故兩者最短路徑長相等，選項(1)正確。

2. 分析選項(2)：
$ A $ 到 $ B $ 的經度差 $ 180^\circ $，緯度 $ 60^\circ $，其最短徑對應的圓心角需結合經緯度計算；$ C $ 到 $ D $ 經度差 $ 180^\circ $，緯度 $ 30^\circ $，兩者對應的大圓弧長不同（因緯度圈半徑不同），選項(2)錯誤。

3. 分析選項(3)：
$ A $（北緯 $ 60^\circ $，經度 $ 0^\circ $）到 $ E $（赤道，經度 $ 0^\circ $）的最短路徑沿經度 $ 0^\circ $ 的大圓（子午線），會經過北緯 $ 30^\circ $ 的點，但不一定是 $ C $（$ C $ 是北緯 $ 30^\circ $、經度 $ 0^\circ $，實際上會經過，此處需再驗證：經度相同的兩點最短徑沿子午線，故 $ A $ 到 $ E $ 必經過 $ C $，選項(3)正確。

4. 分析選項(4)：
$ C $ 到 $ D $ 經度差 $ 180^\circ $，緯度 $ 30^\circ $，其最短徑是沿緯度 $ 30^\circ $ 的大圓（經度 $ 180^\circ $ 的大圓），經過北極點，選項(4)正確。

5. 分析選項(5)：
$ E $ 到北極點的緯度差 $ 90^\circ $，$ C $ 到 $ D $ 的最短徑對應的圓心角需計算：$ C $（北緯 $ 30^\circ $，經度 $ 0^\circ $）與 $ D $（北緯 $ 30^\circ $，經度 $ 180^\circ $）的大圓弧長對應圓心角為 $ 120^\circ $（因緯度 $ 30^\circ $ 時，經度差 $ 180^\circ $ 的大圓弧心角為 $ 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ $）。兩者弧長比為 $ 90^\circ: 120^\circ = 3:4 $，非 $ 2:3 $，選項(5)錯誤。

综上，正確選項為(1)(3)(4)。" 報錯
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04 – 114學測數學b試題12

已知某等差數列的首項是$1$,末項是$81$,且$9$也在此數列中。設此數列的項數為$n$,其中$n \leq 100$。試選出正確的選項。(1) $n$為奇數；(2) $41$必在此等差數列；(3) 滿足條件的等差數列,其公差都是整數；(4) 滿足條件的等差數列共有$10$個；(5) 若$n$為$7$的倍數,則$n = 21$

答案

設等差數列公差為$d$,$a_n = a_1 + (n - 1)d$,即$81 = 1 + (n - 1)d$,$d = \frac{80}{n - 1}$,又$9 = 1 + (m - 1)d$,可得$d = \frac{8}{m - 1}$,所以$\frac{80}{n - 1} = \frac{8}{m - 1}$,$n - 1 = 10(m - 1)$。
1. 對於(1),$n - 1 = 10(m - 1)$,$n = 10m - 9$,$n$為奇數,(1)正確。
2. 對於(2),$a_k = 1 + (k - 1)d = 41$,$40=(k - 1)d$,由$d = \frac{80}{n - 1}$,可得$40=(k - 1)\frac{80}{n - 1}$,$n - 1 = 2(k - 1)$,又$n = 10m - 9$,可推出$41$必在此數列,(2)正確。
3. 對於(3),$d = \frac{80}{n - 1}$,$n - 1$是$80$的正約數,$d$不一定是整數,(3)錯誤。
4. 對於(4),$n - 1$是$80$的正約數,$n - 1$取值有限,滿足$n \leq 100$的等差數列個數有限且不為$10$個,(4)錯誤。
5. 對於(5),$n = 10m - 9$,若$n$是$7$的倍數,$10m - 9 = 7s$,$10m = 7s + 9$,經分析可得$n = 21\vee13$時滿足,(5)不一定正確。答案：(1)(2) 報錯
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04 – 114學測數學b試題13

某景點旁邊有兩個停車場,假設某日任一停車場沒有空位的機率皆為$0.7$,且這兩個停車場是否有空位互不影響。若一輛車子在當天來到這兩個停車場外面,則至少有一個停車場內有空位的機率為 $0.\underline{○13 – 1}\ \underline{○13 – 2}$。

答案

至少有一個停車場有空位的機率$P = 1 - 0.7×0.7 = 1 - 0.49 = 0.51$,即$\underline{○13 - 1}=5$,$\underline{○13 - 2}=1$。報錯
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04 – 114學測數學b試題14

坐標平面上,給定三點$A(0, 2)$、$B(-1,0)$、$C(4, 0)$。若直線$y = mx$將三角形$ABC$分成面積相等的兩部分,則$m = \underline{○14 – 1}$（化為最簡分數）。

答案

$ m = \frac{5}{6} $。報錯
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04 – 114學測數學b試題15

某公司聘請$8$名新進員工,其中含$2$名翻譯、$3$名工程師與$3$名助理。將此$8$人分派給研發、測試兩個部門,其中每個部門各分派$4$人,且各需含$1$名翻譯與至少$1$名工程師。依此共有 $\underline{○15 – 1}\ \underline{○15 – 2}$種分配方法。

答案

將 2 翻譯、3 工程師、3 助理共 8 人分派至「研發」與「測試」兩部門（各 4 人），且每部門至少有 1 名翻譯與 1 名工程師。

因翻譯僅 2 人，故兩部門**各分 1 名**。

研發部門的合法組合只有兩種：

1. **1 翻譯＋1 工程師＋2 助理**
　→ $ \binom{2}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 2 \times 3 \times 3 = 18 $

2. **1 翻譯＋2 工程師＋1 助理**
　→ $ \binom{2}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{3}{1} = 2 \times 3 \times 3 = 18 $

總計：$ 18 + 18 = 36 $

**答：36 種** 報錯
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04 – 114學測數學b試題16

教室的某牆角是由牆面和地面兩兩互相垂直所構成。設牆角為點$O$,現有一個三角形擋板$ABC$,其中頂點$A$、$B$、$C$位在牆面間或牆面與地面間的交界線上,並與牆角$O$的距離分別為$20$、$20$、$10$公分；$AB$、$BC$、$CA$三邊與牆面或地面貼合,如圖所示。則$\angle BAC = \underline{}$（化為最簡根式）

答案

設
- $ A(20,0,0) $、$ B(0,20,0) $（在地面兩牆交線）
- $ C(0,0,10) $（在牆上）

則
- $ \vec{AB} = (-20,20,0) $
- $ \vec{AC} = (-20,0,10) $

利用
\[
\tan\angle CAB = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}
\]

計算得：
- 叉積長度 $ = 200\sqrt{6} $
- 點積 $ = 400 $

故
\[
\tan\angle CAB = \frac{200\sqrt{6}}{400} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

**答：** $ \dfrac{\sqrt{6}}{2} $ 報錯
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04 – 114學測數學b試題17

某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的$LED$燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮$3$秒, 再暗$1$秒, 再亮$2$秒」；
綠色：「亮$6$秒, 再暗$2$秒」；
藍色：「亮$k$秒,再暗 $(15 – k)$ 秒」,其中$k$為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環,面板上都一直有燈亮著,並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略,則$k$的最小值為 $\underline{○17 – 1}\ \underline{○17 – 2}$。

答案

- 紅燈週期 6 秒：亮 3 秒 → 暗 1 秒 → 亮 2 秒 ⇒ **僅在第 3～4 秒暗**
- 綠燈週期 8 秒：亮 6 秒 → 暗 2 秒 ⇒ **在第 6～8 秒暗**
- 藍燈週期 15 秒：亮 $k$ 秒 → 暗 $15 - k$ 秒 ⇒ **在第 $k$～15 秒暗**

要求：**任何時刻至少一燈亮** → **三燈不能同時暗**

---

### 關鍵：找出紅與綠「同時暗」的時刻，再讓藍燈在那些時刻「亮」。

紅暗：$ t \equiv 3 \pmod{6} $（即 $ t = 3,9,15,21,27,33,\dots $）
綠暗：$ t \equiv 6,7 \pmod{8} $（即 $ t = 6,7,14,15,22,23,30,31,\dots $）

找共同時刻（在 0～120 秒內，LCM(6,8,15)=120）：

- $ t = 15 $：紅暗（15≡3 mod 6），綠暗（15≡7 mod 8）✅
- $ t = 39 $：39≡3 mod 6，39≡7 mod 8 ✅
- $ t = 63 $：63≡3 mod 6，63≡7 mod 8 ✅
- $ t = 87 $：87≡3 mod 6，87≡7 mod 8 ✅
- $ t = 111 $：111≡3 mod 6，111≡7 mod 8 ✅

這些是紅綠同暗的時刻：
**15, 39, 63, 87, 111**

藍燈在時刻 $ t $ 亮 ⇔ $ t \bmod 15 < k $ 所以，要讓上述每個 $ t $ 滿足： \[ t \bmod 15 < k \] 計算： - $ 15 \bmod 15 = 0 $ - $ 39 \bmod 15 = 9 $ - $ 63 \bmod 15 = 3 $ - $ 87 \bmod 15 = 12 $ - $ 111 \bmod 15 = 6 $ → 藍燈需在餘數 **0, 3, 6, 9, 12** 時亮即：這些餘數都必須 **< k** 最大餘數為 **12**，故需： \[ k > 12 \quad \Rightarrow \quad k \geq 13
\]

最小正整數 $ k = 13 $

### ✅ 正確答案：$ \dfrac{13}{1} $

紅綠同暗時刻模 15 的餘數為：0, 3, 6, 9, 12
藍燈需在這些時刻亮 ⇒ $ k > 12 $ ⇒ 最小 $ k = 13 $

**答：** $ \boxed{\dfrac{13}{1}} $ 報錯
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04 – 114學測數學b試題18

地球受到太陽照射過來的紫外線強度以$UVI$數值表示, 一單位$UVI$的照射強度相當於每平方公尺$100$焦耳的能量。已知$UVI$數值與所在高度呈指數關係：高度每上升$300$公尺,其$UVI$數值增加上升前的$4\%$。在地平面上接收到太陽發出每平方公尺$400$焦耳的紫外線,則到了離地平面$4500$公尺高的山上,接收到紫外線的$UVI$數值為下列哪一個選項？(1) $4(1 + 0.04×15)$；(2) $4(1 + 0.04^{15})$；(3) $4(1 + 0.04)^{15}$；(4) $4×100(1 + 0.04)^{15}$；(5) $4×100(1 + 0.04^{45})$

答案

地平面上能量$400$焦耳,則$UVI$數值為$4$。高度上升$4500$公尺,$4500÷300 = 15$,即經過$15$次$300$公尺上升,每次增加$4\%$,所以$UVI$數值為$4(1 + 0.04)^{15}$。答案：(3) 報錯
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04 – 114學測數學b試題19

19. 已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 $ x $ 小時（$ 0 \leq x \leq 12 $）的 UVI 數值，可用函數 $ f(x) = a\sin(bx) $ 來表示，其中 $ a, b > 0 $。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 $ f(0) = f(12) = 0 $），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 $ a $、$ b $ 之值。（非選擇題，6 分）

答案

已知：
- $ f(x) = a\sin(bx) $
- $ f(0) = 0 $，$ f(12) = 0 $
- $ f(2) = 4 $

#### 步驟一：由 $ f(12) = 0 $ 求 $ b $

$$
f(12) = a\sin(12b) = 0 \Rightarrow \sin(12b) = 0
\Rightarrow 12b = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}
\Rightarrow b = \frac{n\pi}{12}
$$

又因 $ f(x) $ 在 $ [0,12] $ 上為正（日照時），且為正弦函數，故應為**半個正弦波**，即從 0 上升至最大再下降回 0。

→ 所以週期為 24 小時，但只取前半段 → 半週期為 12 小時
→ 正弦函數在 $ x=6 $ 時達最大值

因此，$ \sin(bx) $ 的週期為 24，即：
$$
\frac{2\pi}{b} = 24 \Rightarrow b = \frac{\pi}{12}
$$

（或直接由 $ 12b = \pi $ 得 $ b = \frac{\pi}{12} $，對應第一個零點）

#### 步驟二：代入 $ f(2) = 4 $

$$
f(2) = a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4
\Rightarrow a = 8
$$

---

### ✅ 答案：
- $ a = 8 $
- $ b = \dfrac{\pi}{12} $

---

### **簡化略解（繁體）：**

由 $ f(12) = 0 $ 且為正弦型，得半週期為 12 小時 ⇒ $ b = \dfrac{\pi}{12} $
代入 $ f(2) = 4 $：
$$
a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow a = 8
$$

**答：** $ a = 8 $，$ b = \dfrac{\pi}{12} $ 報錯
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04 – 114學測數學b試題20

20. 承第 19 題，今某人要在該日 UVI 數值介於 $ 4\sqrt{2} $ 和 $ 4\sqrt{3} $ 之間（含）時做日光浴。將他可以做日光浴的時間設為日出後 $ t $ 小時，試求 $ t $ 的最大可能範圍。（非選擇題，6 分）

答案

\[
4\sqrt{2} \leq 8\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq 4\sqrt{3}
\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

因 $ \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} $ 當 $ \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} $，
$ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 當 $ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} $，

故：
\[
\frac{\pi}{12}t \in \left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4}\right]
\]

解得：
\[
t \in [3,4] \cup [8,9]
\]

**答：** $ \boxed{[3,4] \cup [8,9]} $ 報錯
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